2015-2016-1学期高三九月月考数学试题

一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合
,
,则
( B )

A．
B．
C．
D．

2. 下列函数中既是奇函数，又在
上单调递增的是 （ C ）

A．
B．
C．
D．

3. 给出两个命题:命题
命题“存在
”的否定是“任意
”；命题
：函数
是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )

A.
B.
C.
D.

4.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间上的最大值为1，则实数a等于( D )

A．－1 B．1 C．－2 D． 2

5 已知函数
是函数
的导函数，则
的图象大致是( A )

A． B． C． D．

6．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且
的一个充分不必要条件是
，则a的取值范围是 (　B　)

A．(－∞，1]　　　B．

7．7. 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 (　 B　)

A．(0，2) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(0，2]

8．若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(　C )

A．(1，＋∞) B．(4，8) C． B. (0，4] C.
D．

11．(文)已知
是奇函数，则
（ A ）

A..14 B． 12 C． 10 D．-8

11. (理)若函数
的大小关系是 (C )

A．
B．

C．
D．不确定

12．已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 （ A ）

①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；

②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；

③函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增；

④当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)．

A．①②④ B．②③ C．①④ D．①②③④

二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）

13.已知实数
满足
则
的最大值__-4_______

14. 已知
，则函数
在点
处的切线
与坐标轴围成的三角形面积为
.

15. 若函数
(
)满足
且
时，
,函数
,则函数
在区间
内零点的个数有__12_个.

16. 存在区间
（
），使得
，

则称区间
为函数
的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：

①
；②
；③
； ④

其中存在“稳定区间”的函数有②__③_ .（把所有正确的序号都填上）

三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)

17.（本小题满分12分）

设向量
，
，其中
，
，函数

的图象在
轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为
，在原点右侧与
轴的第一个交点为
.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）在
中，角A，B，C的对边分别是
，若
，

且
，求边长
．

解：解：（I）因为

， -----------------------------1分

由题意
， -----------------------------3分

将点
代入
，得
，

所以
，又因为
-------------------5分

即函数的表达式为
． ---------------------6分

（II）由
，即

又
------------------------8分

由
，知
，

所以
-----------------10分

由余弦定理知

所以
----------------------------------------------------12分

18.（文）（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：

评估的平均得分









全市的总体交通状况等级

不合格

合格

优秀





（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；

（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

【解析】：

（Ⅰ）6条道路的平均得分为
.-----------------3分

∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分

（Ⅱ）设
表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过
”. -----7分

从
条道路中抽取
条的得分组成的所有基本事件为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
个基本事件． -----------------9分

事件
包括
，
，
，
，
，
，
共
个基本事件，

∴
．

答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过
的概率为
.------12分

18.（理）（本小题满分l 2分）

在2015年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．

(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；

(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．

解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

∴考生甲正确完成题数的分布列为

ξ

1

2

3



P









Eξ＝1×＋2×＋3×＝2. ………………………………………..4分

又η～B(3，)，其分布列为P(η＝k)＝C·()k·()3－k，k＝0，1，2，3；

∴Eη＝np＝3×＝2. ………………………………………6分

(II)∵Dξ＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝，

Dη＝npq＝3××＝， ∴Dξ

∵P(ξ≥2)＝＋＝0.8，P(η≥2)＝＋≈0.74，∴P(ξ≥2)>P(η≥2)． ………………10分

从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．………………12分

19（理）在四棱锥
中，
平面
，
是
的中点，

,
,
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

解：（Ⅰ）取
的中点
,连接
,
,

则
∥
.

因为

所以
.………………………………1分

因为
平面
，
平面

所以

又

所以
⊥平面
……………………………………………………………3分

因为
平面
,所以
⊥
；

又
∥
，所以
；

又因为
,
；

所以
⊥平面
……………………………………………………………5分

因为
平面
，所以
…………………………6分

（注：也可建系用向量证明）

（Ⅱ）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.

则
,
,
，
,
,

，
.

………………………………………………8分

设平面
的法向量为
，则
所以

令
.所以
. ……………………9分

由（Ⅰ）知
⊥平面
,
平面
,所以
⊥
.

同理
⊥
.所以
平面

所以平面
的一个法向量
. …………………10分

所以
， ……………………11分

由图可知，二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ……………………12分

19.(文)在四棱锥
中，
平面
，

是
的中点，
,

，
.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
．

证明：（Ⅰ）取
的中点
,连接
,
.

则有
∥
.

因为
平面
，

平面

所以
∥平面
．……………………2分

由题意知
,

所以
∥
.

同理
∥平面
．…………………4分

又因为
平面
,
平面
,

所以 平面
∥平面
．

因为
平面

所以
∥平面
． ……………………………………………………………6分

（Ⅱ）取
的中点
,连接
,
,则
∥
.

因为
,所以
.………………………………………7分

因为
平面
，
平面
，所以

又

所以