浏阳一中2015年下学期高三年级第一次月考理科数学试卷

本卷满分150分　　　考试时间120分钟

命题人：罗琼英 　　 审题人：袁怀庆

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题意的，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)

1.复数
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2.函数
的零点所在区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）

A．a km B.a km

C．2a km D.a km

4.己知函数f（x）=
，则f（5）的值为( )

A．
B．
C．1 D．

5.已知正数m是2,8的等比中项，则圆锥曲线x2+
=1的离心率为 ( )

A．
或
B．
C．
D．
或

6.若
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列命题：

① 若
； ② 若
；

③ 若
； ④ 若
，则

其中正确命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7.某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则判断框内应为( 　)

A．k＞5? B．k＞4?

C．k＞7? D．k＞6?

8. 设向量
与
的模分别为6和5，夹角为120°，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

9．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )

A．85 B．56 C．49 D．28

10.下列说法正确的是 （　 　）

A．命题“

，
”的否定是“

，
”.

B．命题 “已知

，若
，则
或
”是真命题 .

C．“
在
上恒成立”
“
在
上恒成立”.

D．命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题.

11.由
的图象向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到
的图象，则
为( )

A．
B．
C．
D．

12.已知
都是定义在
上的函数，
，
，且

，且
，
．若数列
的前
项和大于
，

则
的最小值为（　 　）

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)

13．若等比数列{
}的首项为
，且
，则公比等于_____________．

14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为
，设
，则满足
的概率为.

15．在
ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若
，且5sinB=3sinC，则
ABC的周长等于 .

16. 函数
，其中
，若动直线
与函数
的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为
，则
是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）

17．（本题满分10分）己知
其中
∈（0，
），且
//
。

（1）求sin
的值；

（2）已知△ABC中，∠A=
，BC=2
+1，求边AC的最大值。

18．（本题满分12分）在数列
中，已知
．

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
，求数列
的前n项和
．

19．（本题满分12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
，且各阶段通过与否相互独立.

（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为
，求
的分布列、数学期望.

20．（本题满分12分）如图，三棱柱
中，
⊥面
，
，
，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

21．（本题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

22.（本题满分12分）已知函数
.

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若函数
在其定义域内为增函数，求
的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设函数
，若在
上至少存在一点
，使得


成立，求实数
的取值范围.

2015年浏阳一中高三数学下学期第一次月考（理科）

本卷满分150分　　　　　　考试时间120分钟

命题人：罗琼英 　　　　　　审题：袁怀庆

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题意的，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)

1．复数
等于（ C ）

A．
B．
C．
D．

2. 2.函数
的零点所在区间是（ A ）

A．
B．
C．
D．

3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ D ）

A．a km B.a km

C．2a km D.a km

4．己知函数f（x）=
，则f（5）的值为( C )

A．
B．
C．1 D．

5.已知正数m是2,8的等比中项，则圆锥曲线x2+
=1的离心率为 ( B )

A．
或
B．
C．
D．
或

6. 若
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列命题：

① 若
； ② 若
；

③ 若
； ④ 若
，则

其中正确命题的个数为（ B ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则判断框内应为( Ｂ 　)

A．k＞5? B．k＞4?

C．k＞7? D．k＞6?

8. 设向量
与
的模分别为6和5，夹角为120°，则
等于( D )

A．
B．
C．
D．

9．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( C )

A．85 B．56 C．49 D．28

10.下列说法正确的是 （　Ｂ 　）

A．命题“

，
”的否定是“

，
”.

B．命题 “已知

，若
，则
或
”是真命题 .

C．“
在
上恒成立”
“
在
上恒成立”.

D．命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题.

11.由
的图象向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到
的图象，则
为( B )

A．
B．
C．
D．

12．已知
都是定义在
上的函数，
，
，且

，且
，
．若数列
的前
项和大于
，则
的最小值

为（　A 　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】∵
，∴
，∵
，

∴
，即
，∴
，

∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，

∴数列
为等比数列，∴
，∴
，即
，

所以
的最小值为6。

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)

13．若等比数列{
}的首项为
，且
，则公比等于_____________．３

14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为
，设
，则满足
的概率为

15．在
ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若
，且5sinB=3sinC，则
ABC的周长等于 .

16. 函数
，其中
，若动直线
与函数
的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为
，则
是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.1

【解析】由
得
，即
，解得
或
。即
，
，所以
，所以由图象可知要使直线
与函数
的图像有三个不同的交点，则有
，即实数
的取值范围是
。不妨设
，则由题意可知
，所以
，由
得
，所以
，因为
，所以
，即
存在最大值，最大值为1.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）

17．（本题满分10分）

己知
其中
∈（0，
），且
//
。

（1）求sin
的值；

（2）已知△ABC中，∠A=
，BC=2
+1，求边AC的最大值。

解析：(1)因为
，且
//
，

所以
，

又
∈（0，
），
，

所以
；

(2) △ABC中，由正弦定理得：
，即
，所以
，当且仅当sinB=1，即
时AC取得最大值
.

18．（本题满分12分）

在数列
中，已知
．

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
，求数列
的前n项和
．

解：（ 1）∵
,∴数列｛
｝是首项为
，公比为
的等比数列，∴
．

（3）
,

19．（本题满分12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段