湖南省永州市2016届高三上学期第一次模拟考试

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、复数
的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、一个算法程序框图如图所示，其输出结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知命题

，
，命题

，
，则（ ）

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是假命题

5、如图，已知
，
，
，用
，
表示
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6、若将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则函数
的解析式为（ ）

A．
B．

C．
D．

7、若变量
，
满足条件
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、某班的课桌分
个大组摆放，每大组课桌数相同，甲、乙均为该班学生，则甲、乙两人的课桌在同一大组的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为
，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为
的正方形，则三棱柱的左视图面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、若函数
为偶函数，且在
内是增函数，又
，则不等式
的解集是（ ）

A．
B．

C．
D．

11、设抛物线
的焦点为
，经过点
的直线
与抛物线相交于
、
两点，且点
恰为
的中点，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12、定义在
上的函数
满足
，且对任意
都有
，若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、若向量
，
，且
，则
．

14、等比数列
的前
项的和等于首项的
倍，则该等比数列的公比为 ．

15、一个平面和一个球相切于
点，从球面上一点
作该平面的垂线
，垂足是
．若
，
，则此球的表面积等于 ．

16、函数
的最大值是
，则
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知函数
，
．

求函数
在
上的值域；

在
中，
、
、
分别是角
、
、
的对边，已知
，
，
的面积为
，求
的值．

18、（本小题满分12分）为纪念中国抗日战争胜利
周年，某中学高三年级举办了“铭记历史，开创未来”的抗战历史知识竞赛活动，共有
名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为
分）进行统计，请你根据频率分布表，解答下列问题：

写出频率分布表中①、②所代表的数据；

在所给坐标系中画出样本的频率分布直方图；

为鼓励更多的学生了解“抗战历史”知识，对成绩不低于
分的学生给予奖励，请估计在参加竞赛的
名学生中大概有多少名学生获奖．

19、（本小题满分12分）已知四棱锥
中，四边形
是边长为
的菱形，
交
于
，
为
的中点，
，且
平面
．

求证：平面
平面
；

若三棱锥
的体积为
，求点
到平面
的距离．

20、（本小题满分12分）已知圆的方程为
，过点
作圆的两条切线，切点分别为
，
，直线
恰好经过椭圆
（
）的右顶点和上顶点．

求椭圆
的方程；

是否存在过定点
的直线
，与椭圆
交于不同的两点
，
，且
（其中
为坐标原点），若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

21、（本小题满分12分）已知函数
，
（
）．

试确定
的取值范围，使得函数
在
上为单调函数；

若存在两个不等实数
，
，其中
为自然对数的底数，使得方程
成立，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知圆中
，
，过
点的圆的切线与
的延长线交于
点．

证明：

；

．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆
的极坐标方程为
，圆
的参数方程为
（
为参数）．

把圆
和圆
的方程化为直角坐标方程；

求经过圆
与圆
的交点的直线的直角坐标方程．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

求不等式
的解集；

若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围．

湖南省永州市2016届高三上学期第一次模拟考试

数学（文）试题参考答案

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