宜昌金东方高级中学2015年春季学期9月月考

高三数学试题（理）

命题：王波 审题：张用玮

本试题卷共6页，三大题24小题。全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

★注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知集合
,集合
,则
( )

A.
B.
C.
D.

2．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）

A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移
个单位 D.向右平移
个单位

3．已知
，
，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是(　　)

A．y＝4sin B．y＝2sin＋2

C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2

5.命题
：
；命题
：
，
，则下列命题中为真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知
中，内角
,
,
所对的边长分别为
,
,
，若
，
，
，则
的面积等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．若函数
是奇函数，则实数
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)

A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}

9. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　)

10．设函数
在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝若函数f(x)＝，且恒有fK(x)＝f(x)，则（ ）

A．K的最大值为 B．K的最小值为 C．K的最大值为2 D．K的最小值为2[来源:学#

11.已知函数f(x)＝
－1的定义域是[a, b](a, b∈Z)，值域是[0, 1]，则满足条件的整数对(a, b)共有（ ）[来源:gkstk.Com]

A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个

12．定义：若对定义域D内的任意两个
，均有
成立，则称函数
是
上的“平缓函数”。则以下说法正确的有： （ ）[

①
为
的“平缓函数”；②
为R上的“平缓函数”

③
是为R上的“平缓函数”；④已知函数
为R上的“平缓函数”，若数列
对
总有
.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、函数
的最小正周期是　　　　　.

14、已知函数
的部分图象如下图,其中

分别是
的
所对的边,
,则
的面积
= .

15、已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0”与命题q：“?x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．

16、如图，正方形
的边长为2，
为
的中点，射线
从
出发，绕着点
顺

时针方向旋转至
，在旋转的过程中，记
为
，
所经过的在正方

形
内的区域（阴影部分）的面积
，那么对于函数
有以下三个结论：

①
；②函数
在
上为减函数；③任意
，都有
；

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题（共70分）

17. （12分）已知函数
，且
的最小正周期为
，
,
的最大值为

（1）求
的解析表达式；（2）求
的最小值，并求出
取最小值时自变量
的集合；（3）求
的单调递减区间

18. (12分) 为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

应该取消

应该保留

无所谓



在校学生

2100人

120人

y人



社会人士

600人

x人

z人



已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．

（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

19（12分）如图，三棱柱
的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=
，
为
的中点．

（1）求证：MC⊥AB；

（2）在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，确定点
的位置；若不存在，说明理由．

（3）若点
为
的中点，求二面角
的余弦值．

:20. (12分)己知
、
、
是椭圆
：
（
）上的三点，其中点
的坐标为
，
过椭圆的中心，且
，
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
(斜率存在时)与椭圆
交于两点
，
，设
为椭圆
与
轴负半轴的交点，且
，求实数
的取值范围．

21（12分）.设函数
，
．

（1）若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

（2）求函数
的极值点；

（3）设
为函数
的极小值点，
的图象与
轴交于
两点，且
，
中点为
，比较
与
的大小．

选做题：本题有22、23、24三个选答题，每小题10分，请考生任选1题作答，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中

22、如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.

(1)求证：∠EDF＝∠CDF；

(2)求证：AB2＝AF·AD.

23、已知曲线C的极坐标方程是
，设直线
的参数方程是

（
为参数）。（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线
与
轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。

24、已知函数
=
.

（1）当
时,求不等式
≥3的解集;

（2）若
≤
的解集包含
,求
的取值范围.

选择题ACDDA CCDBB BC

填空：
；13；（14，15虐）

17. 已知函数
，且
的最小正周期为
，
,
的最大值为

（1）求
的解析表达式；（2）求
的最小值，并求出
取最小值时自变量
的集合；（3）求
的单调递减区间

【解析】（1）
的最大值为
,
,即

的最小正周期为
，
，即

又
，
，即
.而
，

所以
的解析表达式

（2）当
时，
.

此时，
，即

从而
的最小值为
，

当
取得最小值时
的自变量的集合为
.

（3）因为
的减区间为
，所以

令
，得

的单调递减区间为

18

为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

应该取消

应该保留

无所谓



在校学生

2100人

120人

y人



社会人士

600人

x人

z人



已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

∴ Eξ=1×
+2×
+3×
=2． …………………………………………… 12分

19

20)己知
、
、
是椭圆
：
（
）上的三点，其中点
的坐标为
，
过椭圆的中心，且
，
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
(斜率存在时)与椭圆
交于两点
，
，设
为椭圆
与
轴负半轴的交点，且
，求实数
的取值范围．

【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
.

【解析】（Ⅰ）∵
且
过
，则
．

∵
，∴
，即
．

又∵
，设椭圆
的方程为
，

将C点坐标代入得
，解得
，
．

∴椭圆
的方程为
．

（Ⅱ）由条件
，当
时，显然
；

当
时，设
：
，
，消
得
由
可得，
……①…

设
，
，
中点
，则
，
, ∴
．

由
，∴
，即
。∴
，

化简得
……② ∴
将①代入②得，
。

∴
的范围是
。综上
．………12.

21.设函数
，
．

（I）若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

（II）求函数
的极值点；

（III）设
为函数
的极小值点，
的图象与
轴交于
两点，且
，
中点为
，比较
与
的大小．

22、如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.

(1)求证：∠EDF＝∠CDF；

(2)求证：AB2＝AF·AD.

证明： (1)∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，

∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，

∴∠EDF＝∠CDF.

(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，

∴△ADB∽△ABF，∴＝，∴AB2＝AF·AD.

23、已知曲线C的极坐标方程是
，设直线
的参数方程是

（
为参数）。（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线
与
轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。

解：(1)曲线C的极坐标方程可化为：
，

又
，所以，曲线C的直角坐标方程为：

(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程得：
，M（2，0），

曲线C为圆，圆心坐标为（0,1），
,所以
[:]

24、已知函数
=
.

（1）当
时,求不等式
≥3的解集;

（2）若
≤
的解集包含
,求
的取值范围.

【解析】(1)当
时,
:]

或
或

或

(2)原命题
在
上恒成立

在
上恒成立

在
上恒成立

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