宜昌金东方高级中学2015年秋季学期9月月考

高三数学试题（文）

命题：翁平 审题：张用玮

本试题卷共4页，三大题24小题。全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

★注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、已知
，那么复数
在平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2、已知向量
，
，若
，则

A．1 B．
C．2 D．4

3、将函数
的图象先向左平移
，然后将所得图象上所有点的横坐标变为

原来的
倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为

A．
B．
C．
D．

4、下列命题中，真命题是

A．
，使得
B．函数
有两个零点

C．
的充要条件是
D．
是
的充分不必要条件

5、若
则下列不等式成立的是

A.
B.
C.
D.

6、已知
，
，则

A．－1 B．－ C. D．1

7、函数
(
，且
)的图象可能是(　　)

8、已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.则函数
的零点的集合为

A．
B．
C．
D．

9、若
，则
=

A．
B.
C.
D.

10、定义在R上的函数
满足
．当
时，
；

当
时，
，则
(　　)

A．
B．
C．
D．

11、设
为
所在平面内一点．若实数
满足
，其中

,则“
”是“点
在
的边所在直线上”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C.充要条件 D．既不充分也不必要条件

12、如图，已知直角三角形
的三边
的长度成等差数列，点
为直角边
的中点，点
在斜边
上，且
，

若
，则

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、在
中,
, 则
的值为 .[:]

14、在三角形
中，A，B，C是三角形 A BC的内角，设函数

=

+
﹣
，则
的最大值为________．

15、乐场有一个按逆时针方向旋转的大风车，如图所示。已知某人从点
处上风车，离地面的高度
（米）与它登上大风车后运行的时间
（分钟）满足函数关系
，且5分钟后到达顶点
.

（1）此人登上大风车开始运行时的点
距地面的高度为 ；

（2）点
转到点
所走过的弧度数为 ；

16、已知坐标平面内定点和动点

和动点
，
，若
，
，其中
为坐标原点，则
的最小值是 。

三、解答题（共70分）

17、（本题满分12分）函数
，
图象的一条对称轴是直线
.

（1）求
；

（2）用五点作图法画出函数
在区间[0，
]上的图象.

18、（本题满分12分）已知向量
，函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）在
中，
分别是角
的对边，若
，求
的面积。

19、（本题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
(km/h)与时间
(h)的函数图象如图所示，过线段
上一点
作横轴的垂线
，梯形
在直线
左侧部分的面积即为
(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．

(1)当
＝4时，求
的值；

(2)将
随
变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若
城位于
地正南方向，且距
地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到
城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到
城？如果不会，请说明理由．

20、（本题满分12分）已知中心在原点
，焦点在
轴上的椭圆，离心率
，且椭圆过点
．（1）求该椭圆的方程；（2）设不过原点
的直线
与该椭圆交于
、
两点，满足直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求
面积的取值范围．

21、（本题满分12分）已知函数
，其中
.

（1）求函数
的单调区间； （2）若直线
是曲线
的切线，求实数
的值； （3）设
，求
在区间
上的最大值。

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22、（本小题满分10分）如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.

(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.

23、（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是
，设直线
的参数方程是
（
为参数）。（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线
与
轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。

24、（本小题满分10分）已知函数
=
.

（1）当
时,求不等式
≥3的解集;

（2）若
≤
的解集包含
,求
的取值范围.

1-5ABDDC 6-10ADDBB 11-12 CB

13、20；14、
；15、7.5;
；16、

17、（本题满分12分）函数
，
图象的一条对称轴是直线
.

（1）求
；

（2）用五点作图法画出函数
在区间[0，
]上的图象.

解：（1）
的图像的对称轴，

（2）由

x

0













y



－1

0

1

0







18、（本题满分12分）已知向量
，函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）在
中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若
，求
的面积。

19、（本题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)

的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．

(1)当t＝4时，求s的值；

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

解　(1)由图象可知：

当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，

∴s＝×4×12＝24(km)．

(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，当10

综上，可知S＝32t2

(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650，

t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，

∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.

解得t1＝30，t2＝40.∵20

∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．

20、（本题满分12分）已知中心在原点
，焦点在
轴上的椭圆，离心率
，且椭圆过点
．

（1）求该椭圆的方程；

（2）设不过原点
的直线
与该椭圆交于
、
两点，满足直线
、
、
的斜

率依次成等比数列，求
面积的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为
(a＞b＞0)，

则
， 故
，

∴椭圆方程为
；

(Ⅱ) 解：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由
消去y得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则Δ＝64 k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，

且
，
，可得
，

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

∴
＝
＝k2，

即
＋m2＝0，又∵m≠0，

∴ k2＝
，即k＝
，

设d为点O到直线l的距离，

则 S△OPQ＝
| PQ | d＝
| x1－x2 | | m |＝
，

由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得：

0＜m2＜2 且 m2≠1，

∴S△OPQ的取值范围为
．

21、（本题满分12分）已知函数
，其中
.

（1）求函数
的单调区间； （2）若直线
是曲线
的切线，求实数
的值； （3）设
，求
在区间
上的最大值。

解：（Ⅰ）
，（
）， ……………2分

在区间
和
上，
；在区间
上，
.

所以，
的单调递减区间是
和
，单调递增区间是
. ………3分（Ⅱ）设切点坐标为
，则 …6分（1个方程1分）

解得
，
. 不知道切点时通过设切点列方程求解 ……………7分

（Ⅲ）

，则
， …………………8分

解
，得
，所以，在区间
上，
为递减函数，

在区间
上，
为递增函数.

★★依据根与区间大小关系分类

当
，即
时，在区间
上，
为递增函数，

所以
最大值为
. ………………9分

当
，即
时，在区间
上，
为递减函数，

所以
最大值为
. ………………10分

当
，即
时，
的最大值为
和
中较大者；

，解得
，

所以，
时，
最大值为
， …

时，