九江七校2016届第一次联考

数学(理)试卷

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知
，其中
是实数，i是虚数单位，则
=( )

A．3 B．2 C．
D．5

2．设集合
，集合
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

3．抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是( )

A．
B．
C．
D．

4．函数
的零点所在区间为( )

A．
B．

C．
D．

5．某三棱锥的三视图如右上图所示,则该三棱锥的各

个面中,最大的面积是( )

A. 1 B.
C.
D.

6．在
中，
，且
，则
=( )

A．
B．
C．3 D．-3

7．已知
，则
展开式中，
项的系数为( )

A．
B．
C．
D．

8．在递增的等比数列
中，已知
，
，且前
项和为
，则

A．6 B．5 C．4 D．3

9．已知
，其中
为常数.
的图象关于直

线
对称，则
在以下区间上是单调函数的是( )

A．
B．

C．
D．

10．右图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图,
表示估计

结果,则输出
的近似值为( )

A．
B．

C．
D．

11．对于函数
，若存在区间
，使得
，

则称函数
为“可等域函数”，区间
为函数
的一个“可等域区间”．

给出下列4个函数：

①
；②
； ③
； ④
．

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )

A．①②③ B．②③ C．①③ D．②③④

12．如图，在棱长为
的正方体
的对角线
上任取一点

，以
为球心，
为半径作一个球.设
，记该球面与正方体表

面的交线的长度和为
，则函数
的图象最有可能的是( )

A B C D

二、填空题：（本大题共4小题，本小题5分，共20分）

13．设向量
，
，则向量
在向量
方向上的投影为 。

14．如下图，在平面直角坐标系
中，将直线
与直线
及
轴所围成的图形绕
轴旋转一周得

到一个圆锥，圆锥的体积

据此类比：将曲线
与直线
及
轴所围成的图形绕
轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积
。

15．某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间（每种房间

仅能入住相应人数）各一间可用，有4个成年男性带2

个小男孩来投宿，小孩不宜单住一间(必须有成人陪同)。

若三间房都住有人，则不同的安排住宿方法有_____种。

16．将
的图像向右平移2个单位后得曲线
，将函数
的图像向下平移2个单位

后得曲线
，
与
关于
轴对称．若
的最小值为
且
，则实数
的取值范围为

三．解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）已知函数
.

(Ⅰ)求
的最小正周期；

(Ⅱ)在
中，角
所对的边分别为
，若

且
的面积为
，求边长
的值.

18.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0到50，各类人群可

正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中

随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为

，
，
，
，
，由此得

到样本的空气质量指数频率分布直方图，如左图。

(Ⅰ)求
的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指

数的平均值；

(Ⅱ)用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率。

如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”，从

这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为
，求
的分布列，并估计一个月(30天)中空气质量能达

到“最优等级”的天数。

19．（本小题满分12分）如图，四面体
中，
是
的中

点，
和
均为等边三角形，
。

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值； (Ⅲ)求
点到平面
的距离。

20.（本小题满分12分）

已知点P(-1，
)是椭圆E：
上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，

O是坐标原点，PF1⊥x轴。

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A，B是椭圆E上两个动点，满足：
，求直线AB的斜率

21.（本小题满分12分）已知函数
，
．

(1)求函数
的单调区间；

(2)当
时，过原点分别作曲线
与
的切线
，
，已知两切线的斜率互为倒数，证明：
；

(3)设
，当
，
时，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致。

22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲.

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，

，
，
与⊙
相交于点
.

（1） 求
长；

（2）当
⊥
时，求证：
.

23.(本小题满分10分)

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）

(Ⅰ)以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

(Ⅱ)已知
，圆
上任意一点
，求
面积的最大值。

24.(本小题满分10分)

设函数
．

(Ⅰ)求不等式
的解集；

(Ⅱ)若
，
恒成立，求实数
的取值范围。

九江七校2016届第一次联考

数学(理)答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

A

A

B

B

C

D

B

C

B

B





二．填空题：本大题共4小题，本小题5分，共20分

13.
14.
15。36 16.

三．解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

解析：

…………………4分

（1）
； …………………6分

（2）
…………………8分

…………………10分

由余弦定理得
…………………12分

18.解：(Ⅰ)由题意，得
解得
…………………3分

50个样本中空气质量指数的平均值为

由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分

（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则
.
的可能取值为0，1，2，

的分布列为：

0

1

2













 …………………8分

.(或者
)， …………………10分

故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为
天. … 12分

19．解法一：（I）证明：连结
，

为等边三角形，
为
的中点，

和
为等边三角形，
为
的中点，
，
.

在
中，

，
，即
,
，
面

（Ⅱ）过
作
于
连结
，
平面
，

在平面
上的射影为

为二面角
的平角。

在
中，

二面角
的余弦值为

（Ⅲ）解：设点
到平面
的距离为
,
，

在
中，
，

而

点
到平面
的距离为

解法二：（I）同解法一. （Ⅱ）解：以
为原点，如图建立空间直角坐标系， 则

平面
，
平面
的法向量