天全中学高三9月月考数学试题（理科）

注意：请同学们将试题的答案必须写在答题卷上，否则不给分！

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．角α终边经过点（1，﹣1），则cosα=( )

A．
B．﹣1 C．1 D．﹣

2．已知复数z满足
( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列说法中，正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆命题是真命题

B．命题“存在
，
”的否定是：“任意
，
”

C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

5．已知定义在R上的函数

为偶函数,记

,则
,的大小关系为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

6．设
是
上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）

A、
是奇函数； B、
是奇函数；

C、
是偶函数； D、
是偶函数

7．已知菱形ABCD的边长为
，
，则
( )

(A)
(B)
(C)
(D)

8．对任意向量
，下列关系式中不恒成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．设
，
，若p是q的充分而不必要条件，则实数
的取值范围是( )

A．
B．

C．
， D．
[:.]

10．将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移
个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则y=sin（ωx+φ）图象上离y轴距离最近的对称中心为( )

A．（
，0） B．（
π，0） C．（﹣
，0） D．（﹣
，0）

11．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则可求出f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
）+f（
）的值为( )

A．﹣8058 B．﹣4029 C．8058 D．4029

12．已知函数f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg2m+lg2n的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．设函数f（x）=
则
________

14．若实数
、
满足
且
的最小值为
，则实数
的值为________

15．若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则
+
的最小值为________

16．4cos10°﹣tan80°= ________

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知集合A=｛x|x2-3x-10≤0｝,B=｛x|m+1≤x≤2m-1｝,若A∪B=A，求出实数m的取值范围。

18．（12分）（12分）已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和单调增区间；

（2） 当
时,求函数
的最大值,最小值．

19．（12分）某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众，参加社区的义务服务工作．假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
，
，
，
且各轮问题能否正确回答互不影响．

（1）求该选手进入第四轮才被淘率的概率；

（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）

20．（12分）已知函数
，其中
。

（1）若曲线
在点
处的切线方程为
，求函数
的解析式；

（2）讨论函数
的单调性；

（3）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围.

21.（12分）已知函数f(x)＝.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的周期和单调区间；

(3)若关于x的不等式f(x)≥m2-m有解，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知函数
。

I）求函数
的单调区间；

Ⅱ）若
恒成立，试确定实数k的取值范围；

Ⅲ）证明：①
上恒成立 ；

②
[:]

天全中学高三9月月考数学参考答案（理科）

一、选择题：ACDBB CDBAC AD

10.解：将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移
个单位，得到函数y=sin的图象；

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（
ωx+
ω+φ）的图象；

∴函数y=sin（
ωx+
ω+φ）的图象与函数y=sinx的图象相同

∴
，
φ=0

解得：ω=2，φ=
∴y=sin（ωx+φ）=sin（2x
）

由2x
=kπ得2x=k
（k∈Z）当k=﹣1时，x=﹣

∴离y轴距离最近的对称中心为（﹣
，0）．故选C．

11.解：①由题意f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，

f″（x）=6x﹣6，由f″（x0）=0得6x0﹣6=1 解得x0=1，而f（1）=﹣2，

故函数f（x）=x3﹣3x2关于点（1，﹣2）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=﹣4，

∴f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
）+f（
）=﹣4×2014+（﹣2）=﹣8058．故选：A．

12.解：f′（x）=6mx2﹣6nx=6x（mx﹣n），

∴由f′（x）=0得x=0或x=
，

∵f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，

∴f（
）=0，即2m?
﹣3n?
+10=0，整理得n3=10m2，

两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=
+
lgm，

∴lg2m+lg2n=lg2m+（
+
lgm）2=
（13lg2m+4lgm+1）=
（lgm+
）2+
，

∴当lgm=﹣
时，lg2m+lg2n有最小值为
．

故选D．

二、填空题：

13．8 14．
15． 3+2
16．﹣

15．解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）

∴a+b=1

则
+
=（
）（a+b）=3+

=3+2

最小值为

故答案为：3+2

16．解：4cos10°﹣tan80°=4cos10°﹣
=4cos10°﹣

=
=
=

=
=
=
=﹣
，

三、解答题

17．
（
），给4分+6分

18．解：（1）
.

的最小正周期为
. （6分）

（2）.

.
当
时,函数
的最大值为1,最小值
.（12分）

19．解：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3，4），

则
，
，
，
．

∴该选手进入第四轮才被淘率的概率：

=
．（4分）

（2）X的可能值为1、2、3、4，

，

，

=
，

∴X的分布列为：

X 1 2 3 4

P

∴
．（12分）

20．解：（1）
，由导数的几何意义得
，于是
，

由切点
在直线
上可得
，

解得
，所以函数
的解析式为
.-------（4分）

（2）
，

当
时，显然
，这时
在
，
内是增函数；

当
时，令
，解得
；

当
变化时，
，
的变化情况如下表：

所以
在
，
内是增函数，在
，
内是减函数。

--------（8分）

（3）由（2）知，
在
上的最大值为
与
中的较大者，

对于任意的
，不等式
在
上恒成立，

当且仅当
即

对任意的
成立，从而得满足条件的
的取值范围是
----（12分）

21. 解：(1)由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，

∴f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．

∴f(x)的定义域关于原点对称．当x≠＋，k∈Z时，

f(x)＝＝

＝＝3cos2x－1，∴f(x)是偶函数．（4分）

(2)∵f(x)＝3cos2x－1＝3×－1＝＋cos2x.

∴T＝＝π，∴f(x)的最小正周期为π.

增区间为

，

减区间为

（8分）

(3)当x≠＋(k∈Z)时，0≤cos2x≤1且cos2x≠，

∴－1≤3cos2x－1≤2且3cos2x－1≠，∴f(x)的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}．

由关于x的不等式f(x)≥m2-m有解得2≥m2-m解得－1≤m≤2（12分）

22．解：（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，

∴x＞1，

∵x＞1，

∴当k≤0时，
，f（x）在（1，+∞）上是增函数；（4分）

当k＞0时，f（x）在（1，1+1 /k ）上是增函数，在（1+1 /k ，+∞）上为减函数．

（2）∵f（x）≤0恒成立，∴?x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，

∴?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，∴k＞0．

由（1）知，f（x）max=f（1+1 k ）=ln1 k ≤0，解得k≥1．

故实数k的取值范围是[1，+∞）．（8分）

（3）令k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2对x∈（1，+∞）恒成立，

即lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．

取
，则
，