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淮安市淮海中学2016届高三数学周练试题2015.9 参考公式 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi． 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为 ▲ . 2. 若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝ ▲ . 3. 命题“”的否定是 ▲ . 4. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ▲ . 5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ . 6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为 ▲ . 7. 如右上图，它是函数f(x)＝Asin(?x＋?)(A＞0，?＞0，??[0，2?) )图象的一部分，则f (0)的 值为 ▲ . 8. 对于直线l，m，平面α，m?α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）． 9. 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 ▲ . 10. 已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数的取值范围为 ▲ . 11. 已知平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°．若E为DC中点，且，则的值为 ▲ . 12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是 ▲ . 13．已知函数，当时，，则实数的取值范围是 ▲ . 14. 已知函数与轴相切若直线与分别交的图象于四点且四边形的面积为25则正实数的值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分） 已知,. (1)若,求的值； (2)若, 的三个内角对应的三条边分别为、、,且,,,求. 16（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点． （1）求证：PC // 平面BDE； （2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB． 17. （本小题满分14分） 设，满足， (Ⅰ)求函数的单调递增区间； （Ⅱ）设三内角所对边分别为且， 求在上的值域． 18. （本小题满分16分） 已知二次函数满足条件，且方程有等根. （1）求得解析式； （2）是否存在实数，使得定义域和值域分别为和？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 19. （本小题满分16分） 某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系. （1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质； （2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测； （3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围． 20. （本小题满分16分） 已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若存在，使得 (是自然对数的底数)，求实数的取值范围． 淮安市淮海中学2016届高三数学周练试题 数学参考答案及评分标准 2015.09 说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 5 2. 3. 4. 5. 6. 5 7. 8. 必要不充分 9. 10. (，4) 11. 3 12. 13. [] 14.4 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15. 解:(1) …………………3分 …………………6分 (2) …………………8分 …………………9分 …………………10分 …………………11分 由余弦定理可知: …………………12分 (其它方法酌情给分) ……………14分 16．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC． ……………2分 因为 E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC． ………4分 因为PC平面BDE，OE?平面BDE，所以PC // 平面BDE． ………6分 （2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．…8分因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE＝E， 所以PA⊥平面BDE． …………………12分 因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB． …………………14分 17. 解：(Ⅰ) 由 …………………3分 因此 令得 故函数的单调递增区间 …………………7分 （Ⅱ）由余弦定理知：，即， 又由正弦定理知：， 即,所以 …………………10分 当时，，，故在上的值域为 …………………14分 18.解：（1）由可知，函数图像的对称轴为 又方程有等根,即有等根. ,代入可得. . ………………… ………6分 (2), 函数存在实数,使得定义域和值域分别为和, 则有即是方程的两根,且. ……… ………10分 由得 存在这样的实数, …………………………16分 19.解：（1）预测①：在上单调递增； 预测②：对恒成立； …………………3分 （2）将（1，100）、（2，120）代入到中，得，解得. 因为所以，故在上单调递增，符合预测①； 又当时，所以此时不符合预测②. …………………8分 （3）由，解得.因为要想符合预测①，则即，从而或. …………………10分 （i）当时，，此时符合预测①，但由，解得，即当时，，所以此时不符合预测②； …………………12分 （ii）当，此时符合预测①，又由知，所以；从而欲也符合预测②，则，即又，解得.综上所述，的取值范围是 …………………16分 20.[解] (1)∵函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，且a≠1)， ∴f′(x)＝axln a＋2x－ln a， ∴f′(0)＝0. 又f(0)＝1，∴函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. …………………………4分 (2)由(1)知，f′(x)＝axln a＋2x－ln a ＝2x＋(ax－1)ln a. ∵当a>0，且a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数． 又f′(0)＝0， ∴不等式f′(x)>0的解集为(0，＋∞)， 故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．………………………10分 (3)∵存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立， 当x∈[－1,1]时，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min， ∴只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可． 又当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示 x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值 ∴f(x)在[－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数， ∴当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值． …………………………12分 ∵f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－＝a－－2ln a， 令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，而g′(a)＝1＋－＝2≥0， ∴g(a)＝a－－2ln a在(0，＋∞)上是增函数， …………………………13分 又g(1)＝0，∴当a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(－1)； 当0 ∴当a>1时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1， 又函数y＝a－ln a在(1，＋∞)上是增函数， …………………………14分 ∴解得a≥e； 当0 又函数y＝＋ln a在(0,1)上是减函数，∴解得0 综上可知，实数a的取值范围为∪[e，＋∞)． …………………………16分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org | ||||||||||||||||||||||||||||||
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