苏州中学2015-2016学年度第一学期期初考试

高三数学I

本试卷满分160分,考试时间120分钟,将正确的答案写在答题卡的相应位置上。

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 若(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是____________．

2. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x＜0}，则A∪B＝____________.

3. 命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是______ (填“真”或“假”)命题．

4.在如图所示的算法流程图中，若输入m＝4，n＝3，则输出的a＝__________.

(第4题)

5.把一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．

6. 在约束条件下，则的最小值为__________．

7.设α、β是空间两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线．从“① m⊥n；② α⊥β；③ n⊥β；④ m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．

8.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C在双曲线的右支上，则的值是____________．

9. 已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝__________.

10. 若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的值域是____________．

11. 如图所示，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2.若用平行于三棱柱A1B1C1—ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．

(第11题)

12. 已知椭圆＋＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为____________．

13. 在△ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x，＝y(x、y≠0)，则4x＋y的最小值是______________．

14.设m∈N，若函数f(x)＝2x－m－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为______________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2.求证：

(1) PA⊥平面EBO；

(2) FG∥平面EBO.

16. (本小题满分14分)

已知函数f(x)＝2cos.

(1) 设θ∈，且f(θ)＝＋1，求θ的值；

(2) 在△ABC中，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．

17. (本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．

(1) 求椭圆E的离心率；

(2) 判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；

(3) 若圆C的面积为π，求圆C的方程．

18. (本小题满分16分)

心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1＝；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．

(1) 若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；

(2) 若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

19. (本小题满分16分)

已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1、a3、ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项．

(1) 若k＝7，a1＝2.

① 求数列{anbn}的前n项和Tn；

② 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S
－22n－1＋3·2n－1的值；

(2) 若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、ak、am成等比数列，求证：k为奇数．

20. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.

(1)指出函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；

(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．江苏省苏州中学2015-2016学年度第一学期期初考试

数学II(理科附加)

本试卷满分40分,考试时间30分钟,将正确的答案写在答题卡的相应位置上。

21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P.

(1) 求证：OM·OP＝OA2；

(2) N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.求证：∠OKM＝90°.

B. 选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝.

(1) 求矩阵M；

(2) 求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

来源学高考

D. 选修4-5：不等式选讲

设x、y、z为正数，求证：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．

【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．

(1) 求证：PN⊥AM；

(2) 若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．

23.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．

(1) 设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；

(2) 求恰好得到n(n∈N*)分的概率．

．

数学参考答案及评分标准

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. －1　2. {x|x＞0}　3. 真　4. 12　5. 　6. 　7. ①③④?②(或②③④?①)　　8. －　9.  10. ∪　11. 24　12. (0,0)　13. 　 14. {0,3,14,30}

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．

15. 证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，

△ABC为等边三角形．

(1) 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC.

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

BO?平面ABC，所以BO⊥面PAC.

因为PA?平面PAC，所以BO⊥PA.

在等腰三角形PAC内，O、E为所在边的中点，所以OE⊥PA.

又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO.

(2) 连AF交BE于Q，连QO.

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以＝2，且Q是△PAB的重心，

于是＝2＝，所以FG∥QO.

因为FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO.

【注】 第(2)小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得．

16. 解：(1) f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.

由2cos＋＝＋1，得cos＝.

于是x＋＝2kπ±(k∈Z)，因为x∈，所以x＝－或.

(2) 因为C∈(0，π)，由(1)知C＝.

因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2.　①

在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b.

由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7.　②

由①②可得或于是a＋b＝2＋.

由正弦定理得＝＝＝，

所以sinA＋sinB＝(a＋b)＝1＋.

17. 解：(1) 设椭圆E的焦距为2c(c>0)，

因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以＝，

于是a2＝8b2，即a2＝8(a2－c2)，所以椭圆E的离心率e＝＝＝.

(2) 由e＝，可设a＝4k(k＞0)，c＝k，则b＝k，

于是A1B1的方程为x－2y＋4k＝0，

故OA2的中点(2k,0)到A1B1的距离d＝＝2k.[:学高考

又以OA2为直径的圆的半径r＝2k，即有d＝r，

所以直线A1B1与圆C相切．

(3) 由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k＝.

设OA2的中点(1,0)关于直线A1B1：x－2y＋2＝0的对称点为(m，n)，

则

解得m＝，n＝.

所以圆C的方程为2＋2＝1.

18. 解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，

由题意知，y2＝(x－t)＋(t＞4)，

所以y＝y2－y1＝(x－t)＋－(t＞4)．

(1) 当a＝－1，t＝5时，

y＝(x－5)＋－＝－＋1≤－2＋1＝，

当且仅当x＝14时取等号，

所以“二次复习最佳时机点”为第14天．

(2) y＝(x－t)＋－＝－－＋－

≤－2＋，

当且仅当＝，即x＝(t＋4)－4时取等号，

由题意(t＋4)－4＞t，所以－4＜a＜0.

注：使用求导方法可以得到相应得分．

19. (1) 解：因为k＝7，所以a1、a3、a7成等比数列．又{an}是公差d≠0的等差数列，

所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，整理得a1＝2d.

又a1＝2，所以d＝1.

b1＝a1＝2，q＝＝＝＝2，

所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋1，bn＝b1×qn－1＝2n.

① 用错位相减法或其他方法可求得{anbn}的前n项和为Tn＝n×2n＋1；

② 因为新的数列{cn}的前2n－n－1项和为数列{an}的前2n－1项的和减去数列{bn}前n项的和，

所以S
＝－＝(2n－1)(2n－1－1)．

所以S
－22n－1＋3·2n－1＝－1.

(2) 证明：由(a1＋2d)2＝a1[a1＋(k－1)]d，整理得4d2＝a1d(k－5)．

因为d≠0，所以d＝，所以q＝＝＝.

因为存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、ak、am成等比数列，

所以am＝a1q3＝a13.

又在正项等差数列{an}中，am＝a1＋(m－1)d＝a1＋，

所以a1＋＝a13.

又a1＞0，

所以有2[4＋(m－1)(k－5)]＝(k－3)3.

因为2[4＋(m－1)(k－5)]是偶数，所以(k－3)3也是偶数，

即k－3为偶数，所以k为奇数．

20. (1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．

(2)证明：由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，

有f′(x1)f′(x2)＝－1.

当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.

因为x1＜x2＜0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，

所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.

因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.

当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立

所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.

(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.

当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x＋a.

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.

两切线重合的充要条件是

由①及x1＜0＜x2知，0＜＜2.

由①②得，

a＝ln x2＋2－1＝－ln＋2－1.

令t＝，则0＜t＜2，且a＝t2－t－ln t.

设h(t)＝t2－t－ln t(0＜t＜2)，

则h′(t)＝t－1－＝＜0，

所以h(t)(0＜t＜2)为减函数．

则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，

所以a＞－ln 2－1.

而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，

所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)

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数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 选修4-1：几何证明选讲

证明：(1) 因