第四次月考数学理试题

本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题），第II卷（非选择题），满分150

分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.向量
，
，若
，则

A.
　　　　 B.
　　　　C.
　　　　 D.

2. 甲、乙两人在
天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如

右图．则这
天甲加工零件的平均数及乙加工零件的中位数分别为

A.
　 B.
　 C.
　 D.

3.设随机变量
服从正态分布
，若
，则

A.
　　　　 B.
　 　　　C.
　　　　 　D.

4.设
是公差不为零的等差数列，其前
项和为
，且
成等比数列，则

A．3 B．4 C．6 D．7

5.设圆
与圆
，点
为一动点，由点
作圆
与圆
的切线
，切点分别为
．若
，则点
的轨迹方程为

A．
B．
C．
D．

6. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“
”到“
”共
个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“
”或“
”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为

A．
B．
C．
D．

7. 设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为8，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

8. 运行如图所示的流程图，则输出的结果
是

A．
B．
C．
D．

9. 已知
，把使得乘积
为

整数的
叫做“成功数”，则区间
内所有成功数的和为

A．
B．
C．
D．

10. 设定义在
上函数

．若曲线
上存在点
使得
，则实数
的取值范围是

A．
　　B．
　　C．
　　D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）

11. 复数
（
为虚数单位）的虚部为________．

12. 在区间
上随机取一个数
，则
的值介于
与
之间的概率为_____．

13. 已知双曲线
的右焦点为
，若过点
且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率
的取值范围是_____．

考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．

14. 如图，圆
的半径为1，直线
与圆
相切于点
，且
，连接
并延长交圆
于
两点，则
的面积为 _______．

15. 直线
（
为参数）与曲线
（
为参数且
）相切，则
______．

16.若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
的单调递增区间，并求出
在
上的最大值与最小值．

18. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

现有
道题，其中
道甲类题，
道乙类题，张同学从中任取
道题解答．

（Ⅰ）求张同学至少取到
道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的
道题中有2道甲类题，
道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是
，答对每道乙类题的概率都是
，且各题答对与否相互独立．用
表示张同学答对题的个数，求
的分布列和数学期望
．

19. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，且
.

（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）若
，求
面积的最大值．

20. （本题共12分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问6分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若函数
的图象与
轴有
个不同的交点，求
的取值范围．

21. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）

设椭圆
过点
，且左焦点为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）当过点
的动直线
与椭圆
相交于不同两点
时，在线段
上取点
，满足
．证明：点
总在某定直线上．

22. （本题共12分，第（Ⅰ）问4分, 第（Ⅱ）问8分）

已知曲线
．从点
向曲线
引斜率为
的切线
，切点为
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明：
．

数学（理科） 参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

C

B

D

A

C

B

C

C

B





二、填空题

11.
12.
13.

14.
15.
16.

三、解答题

17. （Ⅰ）

∴最小正周期T=

（Ⅱ）由
得

的递增区间是

19. （Ⅰ）

（Ⅱ）将
两边平方可得：
，即
，由均值不等式，
，则
，所以
，当且仅当
时，取到最大值
.

20. （Ⅰ）

当
时，
在
和
上单增，在
上单减.

当
时，
在
上单增.

当
时，
在
和
上单增，在
上单减；

（Ⅱ）令
则

当
时，
且
即
且
，显然无解；

当
时，
在
上单增，显然不满足题意；

当
时，
且
即
且
，

综上，
．

21. （Ⅰ）

（Ⅱ）方法一：设点Q、A、B的坐标分别为
。

由题设知
均不为零，记
,则
且

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是
，

，

从而
，（1）
，（2）

又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得

即点
总在定直线
上

22. 解：（Ⅰ）设直线
：
，联立
得
，则
，∴
（
舍去）

，即
，∴

（Ⅱ）证明：∵

∴

由于
，可令函数
，则
，令
，得
，给定区间
，则有
，则函数
在
上单调递减，∴
，即
在
恒成立，又
，

则有
，即
.

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