第四次月考数学文试题

数学试题（文史类）满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）已知全集
,集合
,
,则

（A）
　 （B）
（C）
　 （D）

（2）命题
，
，则
为

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）为了了解某种进口茶叶的质量（单位：克），从 中抽取若干包进行检查，获得样本的频率分布直方图如图所示.若已知样本中质量在
内的茶叶有10包，则样本容量为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知圆
与直线
相交于
两点，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）函数
的定义域为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）阅读右侧程序框图，输出结果
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知
，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）过双曲线
的一个焦点
作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
点，且与另一条渐近线交于点
，若
，则双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）定义域为
的函数
对任意
都有
，且其导函数
满足

，则当
时，有

(A)
(B)

(C)
(D)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上

（11）已知
，若
，则实数
________.

（12）已知复数
在复平面内对应的点分别为
，则
等于________.

（13）若数列
满足
，且
，则
等于________.

（14）计算：
_______.

（15）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为
的圆面，中间有边长为
的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为
的球）正好落入孔中的概率是 .(不作近似计算)

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

已知等差数列
满足：
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问3分，（III）小问4分）

为了了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，记录了小李第
天打篮球的时间
（单位：小时）与当天投篮命中率
的数据，其中
.

算得：
.

（Ⅰ）求投篮命中率
对打篮球时间
的线性回归方程
；

（Ⅱ）判断变量
与
之间是正相关还是负相关；

（Ⅲ）若小李明天准备打球
小时，预测他的投篮命中率.

附：线性回归方程
中
，其中
为样本平均数.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

设
的内角
的对边分别为
,
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
,求
.

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

在如图所示的多面体
中，
平面
，
平面
，

，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为
万元，每生产
千件需另投入
万元.设该公司一年内生产该品牌服装
千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元，且

（Ⅰ）写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大年利润.（注：年利润=年销售收入-年总成本）.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

已知动点
到直线

的距离是它到点
的距离的
倍.

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设轨迹
上一动点
满足：
，其中
是轨迹
上的点，直线
与
的斜率之积为
，若
为一动点，
为两定点，
.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

D

C

D

C

A

B

C

D



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上

题号

11

12

13

14

15



答案













三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（Ⅰ）设
的首项为
，公差为
，则由
得

（Ⅱ）由
得
.]

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问3分，（III）小问4分）

【解】（I）由题意知：

于是：

故：所求回归方程为

（II）由于变量
的值随着
的值增加而增加（
），故变量
与
之间是正相关

（III）将
带入回归方程可以预测他的投篮命中率为

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

【解】(Ⅰ)因为
,

所以
. 由余弦定理得,
, 因此,
.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,所以

由于
，解得：

,

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

【解】方法一：几何法

(Ⅰ)取
的中点
，连结

一方面：因为
,

又
①

另一方面：因为

,所以
②

由①②可得：
,

(II)由
,

在平面
内作
,

,

,

且

由三角形的等面积法的

.

方法二：坐标法

在平面
内，过
作
，以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图所示

则：

(Ⅰ)由于
平面
，故平面
的法向量

而
，所以
，即
，故
平面

(II)平面
中，

设平面
的法向量为
，则

取
，则
，又

所以：点
到平面
的距离

又在
中，
，所以面积

所以：三棱锥
的体积

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（1）当
时，

当
时，

所以：

（2）①当
时，由
得

当
时，
，函数单调递增，当
时，
，函数单调递减

于是：

②当
时，

当且仅当
即
时取等号，于是：

综合①②知：当年产量为
千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，为
万元.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

【解】(Ⅰ) 点
到直线x=
的距离,是到点
的距离的
倍，则

，化简得

（Ⅱ）设
，
,则
由得,

即

因为点
在椭圆
上，所以
,

故

设
分别为直线
的斜率，由题意知，

，因此
，所以

所以
点是椭圆上
的点，而
恰为该椭圆的左右焦点，所以由椭圆的定义，
.

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