梅州市高三总复习质检试卷（2015.05）

数学（文科）参考答案与评分意见

选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

CABDB，CAACA

填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．7 12. 85(3分),
(2分) 13. -4

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14.1 15.
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解:(1)由
………………………2分

………………………4分

………………………6分

………………………8分

………………………10分

所以△
是等边三角形. ………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：表格填空如下：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



 ………………………2分

（2）∵
. ………………………4分

∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关. ………………………6分

(3)从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：

………………………8分

基本事件的总数为18,用
表示“
，
不全被选中”这一事件，

则其对立事件
表示“
，
全被选中”这一事件，

由于
由
,3个基本事件组成，…………10分

所以
. ………………………11分

由对立事件的概率公式得
.………………………12分

18．（本小题满分14分）

(1)证明: ∵CPPB=CFFA,

∴FP∥BE. …………1分

∵BE平面A1EB , ……2分

FP平面A1EB , ………3分

∴FP∥平面A1EB. ………4分

解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

(2) 在图1中，取BE的中点D，连结DF.

∵AEEB=CFFA=12，

∴AF=AD=2. …………5分

而∠A=
,∴△ADF是正三角形.

又AE=DE=1，∴EF⊥AD. …………6分

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角. …………7分

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.

又BE、EF平面BEF， BE∩EF=E，

∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP. …………8分

(3)在图2中，∵A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,

设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，

则可得BP⊥平面A1EQ， ∴ BP⊥A1Q.

则∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角， …………………10分

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=
，

∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP.

又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=
. …………………12分

又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=
, ∴∠EA1Q=
.

所以直线A1E与平面A1BP所成的角为
. …………………14分

19.（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
…………1分

当
时，
. …………2分

当
时，也满足
. …………3分

. …………4分

因为
是等比数列，所以
，

则
，解得
. …………5分

又
，
， …………6分

解得
或
（舍去）. …………7分

. …………8分

（2）由（1）可得

…………10分

. …………12分

显然数列
是递增数列，所以
.

即
. …………14分

20.（本小题满分14分）

解:
………………………1分

………………………2分

………………………3分

………………………4分

（2）
…………………5分

………………6分

………7分

…………………8分

………………………9分

………………10分

，

………………………11分

………………………12分

………………………13分

由此得

………………………14分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题意可得:

, …………1分

. …………2分

（2）
. …………3分

. …………4分

. …………5分

当
时，
,
,
;

当
时，
,
,
;

当
时，
,
,
.

综上所述，
. …………6分

即存在
，使得
是
上的4阶收缩函数. …………7分 （3）
,令
,得
或
. 函数
的变化情况如下：

令
，解得
或3. …………8分

ⅰ）
时，
在
上单调递增，

因此，
，
.

因为
是
上的2阶收缩函数，

所以，①
对
恒成立；

②存在
，使得
成立. ……………9分

①即：
对
恒成立，

由
，解得：
或
，

要使
对
恒成立，需且只需
. …………10分

②即：存在
，使得
成立.

由
得：
或
，

所以，需且只需
.

综合①②可得：
. …………11分

ⅱ）当
时，显然有
，由于
在
上单调递增，根据定义可得：

，
，

可得
，

此时，
不成立. …………… 13分

综合ⅰ）ⅱ）可得：
. ……………14分

注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用
只是因为简单而已.