“七校联合体”2
015届高三冲刺交流试卷数学试卷（文科）

命题人：南海桂城中学 2014年5月17日

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

2．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上
，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.　 已知集合
，集合
，则

=

A．
B．
C．
D．

2.　 设复数
满足
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.　 已知向量a＝
，b＝
，若向量a，b的夹角为
，则实数m＝(　　)

A．
B.
C．
D．

4．已知函数
是奇函数，且当
时，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 某防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样的办法抽取

样本．某中学共有学生
名，抽取了一个容量为
的样本，已知样本中女生比男生少
人，则该校共有女生（ ）

A．
人 B．
人 C．
人 D．
人

6. 如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）

A．计算
的值

B．计算
的值

C．计算
的值

D．计算
的值

7. 已知命题
：直线
，
不相交，命题
：直线
，
为异面直线，则
是
的（ ）

A．充分而不必要条 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条
件

8. 已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

9. 已知椭圆
的左焦点为
与过原点的直线相交于

两点,连接
,若
,则
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 对于集合M，定义函数
对于两个集合M，N，定义集合

. 已知
，
，则集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11~13题）

11. 函数
存在与直线
平行的切线，则实数a的取值范围为 ．

12. 在区
间（0，4）内任取两个实数，如果每个实数被取到的概率相等，那么取出的两个实数的和大于2的概率等于 .

13. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈
)等于__________.

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的参数方程为
(
为参数)，
在点
处的切线为
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则
的极坐标方程为

15．（几何证明选讲选做题） 如图，已知
内接于圆
，点
在
的延长线上，
切圆
于
，若
,
,则
的长为_______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12 分）

已知向量
＝(
，1
)，
＝(
，
)，f(x)＝
．

(1)若
，求
的值；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足
，求函数
的取值范围

17. （本小题满分12 分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）
：

（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水

平较高（直接写出结果）；

（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校

随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．

18.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，各个侧面均是边长为2的正方形，
为线段
的中点．

（Ⅰ）求证：
⊥平面
；

（Ⅱ）求证：直线
∥平面
；

（Ⅲ）设
为线段
上任意一点，在
内的平面区域（包括边界）是否存在点
，使
，并说明理由．

19．（本小题满分14分）

数列
的首项
，前n项和
与
之间满足
.

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，若存在正数
，使
对一切
都成立，求
的最大值.

20. （本小题满分14分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（1）求C的方程．

（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．

②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分14分）

设
，函数
，函数
，
.

（Ⅰ）判断函数
在区间
上是否为单调函数，并说明理由；

（Ⅱ）若当
时，对任意的
， 都有
成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）当
时，若存在直线
（
），使得曲线
与曲线
分别位于直线
的两侧，写出
的所有可能取值. (只需写出结论)

 “七校联合体”2015届高三冲刺交流试卷

参考答案

一、选择题： C A C D D B B A B D

二、填空题：

11.
12.
13. 6 14.
15.

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分

（Ⅱ）
设事件
：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．

由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为
；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为
．

其中
……… 6分

分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有
这10种可能．…… 8分

其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有
这4种可能． ……… 10分

所以
．

即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为
. ……… 12分

18. 解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，

所以
,
.

所以
底面
．

因为
底面
，所以
．

由已知可得，底面
为正三角形．

因为
是
中点，所以
．

因为
，所以
平面
． ……… 5分

（Ⅱ）证明：如图，连接
交
于点
，连接
．显然点
为
的中点．

因为
是
中点， 所以
．

又因为
平面
，
平面
，

直线
∥平面
……… 10分

（Ⅲ）在
内的平面区域（包括边界）存在一点
，使
．

此时点
是在线段
上. 证明如下：

过C作
交线段
于
，

由（Ⅰ）可知
平面
，而

平面
，

所以
．

又
，
，所以
平面
．

又
平面
，所以
． ……… 14分

19. 解：（1）∵
，
， ∴

解得
………………2分

（2）证明：∵
，∴
，

∴
，∴
， ………………6分

∴
， 数列
为首项，以2为公差的等差数列.

∴
，∴
. ………………8分

（3）由（2）知
，又



， ………………10分

∴
在
上递增，要使
恒成立，只需
………………12分

∵
， ∴
， ∴
.………………14分

20．解：（1）由题意知F. 设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.

因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，

解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)． ……………
…2分

由＝3，解得p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝4x. ………………4分

（2）①证明：由(1)知F(1，0)．设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．

因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，

由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)． 故直线AB的斜率kAB＝－.

因为直线l1和直线AB平行， 设直线l1的方程为y＝－x＋b，

代入抛物线方程得y2＋y－＝0， 由题意Δ＝＋＝0，
得b＝－.………6分

设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.

当y≠4时，kAE＝＝－＝， ………………7分

可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)， 由y＝4x0，

整