机密★启用前 考试时间：2015年7月1日 15：00-17：00

惠州市2016届高三第一次调研考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

考生注意：

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合
，则
等于 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）双曲线
的焦距为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）设
（
是虚数单位），则
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）在等比数列
中，若
且
，则
的值为 （ ）

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

（6）函数
的图象中相邻的两条对称轴间距离为 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的
值

为16，则循环体的判断框内①处应填 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）向量
、
,下列结论中,正确的是( )

（A）
（B）

（C）
（D）

（9）如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知函数
，且
，则
（ ）

（A）0 （B）4 （C）0或4 （D）1或3

（11）过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
、
两点，

如果
，那么
＝ （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）对函数
，在使
成立的所有常数
中，我们把
的最大值叫做函

数
的下确界．现已知定义在R上的偶函数
满足
，当

时，
，则
的下确界为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

注意事项：

第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若
，则
．

（14）方程
有实根的概率为 ．

（15）已知点
的坐标满足条件
点
为坐标原点,那么
的最大值

等于 ．

（16）已知函数
(
,
为自然对数的底数)，若函数
在点
处

的切线平行于
轴，则
．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知
为等差数列，且满足
．

（I） 求数列
的通项公式；

（II）记
的前
项和为
，若
成等比数列，求正整数
的值．

（18）（本小题满分12分）

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满

分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．

（I） 计算甲班7位学生成绩的方差
；

（II）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，

求甲班至少有一名学生的概率．

参考公式：

方差
，其中
．

（19）（本小题满分12分）

如图，矩形
中，对角线
的交点为
⊥平面

为
上的点，且
．

（I） 求证：
⊥平面
；

（II）求三棱锥
的体积．

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，已知圆心在
轴上，半径为4的圆
位于
轴右侧，且与
轴相切．

（I） 求圆
的方程；

（II）若椭圆
的离心率为
，且左右焦点为
．试探究在圆
上是否存在点
，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
．

（I） 讨论函数
的单调区间；

（II）当
时，若函数
在区间
上的最大值为
，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分．

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，
为⊙
的直径，直线
与⊙
相切于点
，
垂直
于点
，
垂直
于点
，
垂直
于点
，连接
，
.

证明：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

（23）（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
为参数），以该直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆
的方程为
．

（Ⅰ）求直线
的普通方程和圆
的圆心的极坐标；

（Ⅱ）设直线
和圆
的交点为
、
，求弦
的长．

（24）（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲

已知
，且关于
的不等式
的解集为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
均为正实数，且满足
，求
的最小值.

惠州市2016届高三第一次调研考试

数 学 试 题 (文科）参考答案 2015.7

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

B

C

D

A

C

D

A

C

B

D





1．【解析】由题意
,故选D.

2．【解析】由双曲线定义易知
，故选C.

3．【解析】由复数计算得
，故选B .

4．【解析】由余弦定理直接得
，且
，得
，故选C.

5．【解析】由等比数列性质易知
，且
，则
，故选D .

6．【解析】函数解析式化简得
，函数的周期为
，由正弦函数图像可

知相邻的两条对称轴间距离为半个周期，则
，故选A .

7．【解析】
的值由2,4,16变化，
也由1，2，3递变，由题意易知选C.

8．【解析】由
，则易得：
，故选D .

9．【解析】由三视图得到其直观图（右上图所示），则体积为
，故选A .

10．【解析】当
时，由
得
；当
时，由
得
，

则
，且两者都成立，故选C.

11．【解析】由抛物线方程可知
，得
；又由抛物线定义可知，点A到焦点的距离等于其到准线

的距离，则
，故选B.

12．【解析】如右图所示，函数
在
上的部分图象，

易得下确界为
，故选D．

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13、
14、
15、
16、

13【解析】由
，

得
.

14【解析】方程有实根时，满足
，得
，由几

何概型知
，得
.

15【解析】如右图所示，
.

16【解析】直线平行于
轴时斜率为
，由
得
，得出
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题意知
……………………2分

解得
…………………………………………4分

所以
，得
…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
……………8分

∴
，
，

因
成等比数列，所以
，从而
， ………10分

即
，
,解得
或
（舍去）

∴
……………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

【解析】（I）∵甲班学生的平均分是85，

∴
．………1分

∴