揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：棱锥的体积公式：
．其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
，则下列表示正确的是

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
，则

A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i

3．命题P：“
”的否定
为

A.
B.

C.
D.

4．已知
，则

A.
B.
C.
D.

5.设向量
，若向量
与向量
共线，则
的值为

A．
B．
C．
D．

6．已知变量
满足约束条件
，则
的最小值是

A.1 B. C.
D.0

7．已知点P在抛物线
上，那么点P到点
的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为

A．
B．
C．
D．

8．连续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m、n，作向量
，若
，则
与
的夹角成为直角三角形内角的概率是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．已知幂函数
的图象过点
，则
的值为 ．

10．
展开式中的常数项为 ．

11．图1中的三个直角三角形是一个体积为
的几何体的三视图，

则侧视图中的h=_________cm．

12．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩

考试第次

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



成绩（分）

65

78

85

87

88

99

90

94

93

102

105

116



将第1次到第12次的考试成绩依次记为
.图2是

统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么

算法流程图输出的结果是 .

13．在△ABC中，已知角
所对的边分别为
，

且
，则
= ．

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系

中，曲线
与
的交点的极坐标为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P在圆O的直径AB的

延长线上，且PB=OB=3,PC切圆O于C点，CDAB于点D，

则CD的长为 ． 图3

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分12分)

已知函数

的部分图象如图4示，

其中M
为图象与轴的交点，
为图象的最高点．

(1)求、的值；

(2)若
，
，求
的值． 图4

17．(本小题满分12分)

某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）

甲：132， 108，112，121，113，121，118，127，118，129；

乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127.

（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班

学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；

（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲

班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；

（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，

若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“优秀”学生

的人数，求X的数学期望．

18．(本小题满分14分)

已知等比数列
满足：
，
，
为其前项和，且
成等差数列．

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）设
，求数列{
}的前n项和
．

19．（本小题满分14分）

如图6，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，

AB∥CD，AD⊥CD，PA=PD=CD=2AB=2．

（1）求证：AB⊥PD；

（2）记AD=，
表示四棱锥P-ABCD的体积，

当
取得最大值时，求二面角A-PD-B的余弦值．

20．(本小题满分14分)

已知椭圆
:
的焦点分别为
、
，为椭圆
上任一点，
的最大值为1.

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知点
，试探究是否存在直线
与椭圆
交于、两点，且使得
？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分14分)

已知函数

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，求函数
的单调区间；

（3）若在区间
上，函数
的图象总在直线
是常数）的下方，求的取值范围．

揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：DBCD ACBB

解析：8．因m、n均取自1-6，故向量
有
种取法，由
知，
，则
，这样的
共有
（个），故所求的概率
．

二、填空题：9. 1；10.
；11. 6；12.7；13.
；14.
；15.
.

三、解答题：

16．解：（1）由
为图象的最高点知
，---------------------1分

又点M
知函数
的最小正周期
，-----------------------3分

∵
∴
,-------------------------------------------------5分

(2)由（1）知，

由
得
，----------------------------------------6分

∵
∴
----------------------------------------7分

∴
-------------------------9分

∵

-------------11分

∴

------------12分

17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：--3分

乙班的平均水平较高；----------------------------4分

（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，

则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”

的概率
.----------------------------8分

（3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为
，----------------------------------------------------------------------------------10分

据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因
,

所以
.---------------------------------------------------------------------------12分

18．解：（1）设数列
的公比为，

∵
成等差数列，
-----------------------------------2分

即
，化简得
，------4分

解得：
或
------------------------------------------------------------------6分

∵
，∴
不合舍去，

∴
.-----------------------------------------7分

(2)∵

=
------------9分

，------------------------------------------10分

∴
=
，-----------------------------------------------------12分

∴

.----------------------------------------14分

19．解：（1）证明：∵AB∥CD，AD⊥CD，∴AB⊥AD，-----------------------------1分

∵侧面PAD⊥底面ABCD，且平面
平面

，

∴AB⊥平面PAD --------------------------------------------2分

又∵
平面PAD，

∴AB⊥PD------------------------------------------------------3分

（2）取AD中点E，连结PE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，----4分

又侧面PAD⊥底面ABCD，

且平面
平面

，

∴PE⊥底面ABCD，-------------------------------------------------------------------------5分

在
PEA中，

∴


（
）------7分

∵

-------------------------------9分

当且仅当
，即
时，“＝”成立，

即当
取得最大值时
， -----------------------------------------------------10分

解法1：∵
，
，∴PD⊥PA ，--------------------11分

又(1)知AB⊥PD，

∴
平面
,又PB平面

∴PD⊥PB，------------------------------------------13分

∴
为二面角A－PD－B的平面角

在
中,
,

即当
取得最大值时，二面角A－PD－B的余弦值为
．-------------------14分

[解法2：以点E为坐标原定，EA所在的直线为x轴、PE所在的

直线为轴建立空间直角坐标系如图示：

则E（0，0，0），A(
，0，0)，

D(
，0，0)，P(0，0，
)，

∴

,

设平面PDB的法向量为

由
得
，
，

令
，则
，
∴
------------------------12分

又
是平面PAD的一个法向量，

设二面