机密★启用前 考试时间：2015年7月1日15：00-17：00

惠州市2016届高三第一次调研考试

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集
集合

则
为（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）复数
（
是虚数单位）的模等于（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）下列命题中的假命题是（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）已知向量
，且
，则实数
＝（ ）．　

（A）－1　 　 （B）2或－1　　 （C）2　 　（D）－2

（5）
中，角
所对的边分别为
，若
（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）已知函数
，则
=（ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）函数
的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）设
为不同的平面，
为不同的直线，则
的一个充分条件为（ ）．

（A）
，
，
（B）
，
，

（C）
，
，
（D）
，
，

（11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种。

（A）150 （B）180 （C）240 （D）540

（12）已知抛物线
与双曲线
有共同的焦点
，
为坐标原点，
在
轴上方且在双曲线上，则
的最小值为（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若
，则
．

（14）
的展开式中常数项为 ．（用数字表示）

（15）
= ．

（16）如下面数表为一组等式：某学生猜测
，若该学生回答正确，则
．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知
为等差数列，且满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
的前
项和为
，若
成等比数列，求正整数
的值．18．（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取
个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），

（Ⅰ）求
的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（Ⅱ）从盒子中随机抽取
个小球，其中重量在
内的小球个数为
，求
的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

19．（本小题满分12分）

如右图,三棱柱
中,
,
,平面
平面
,
与
相交于点
.

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分12分）

如图，曲线
由上半椭圆
和部分抛物线

连接而成，
的公共点为
，其中
的离心率为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）过点
的直线
与
分别交于
（均异于点
），若
，求直线
的方程.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
(其中
).

（Ⅰ）如果函数
和
有相同的极值点，求
的值，并直接写出函数
的单调区间；

（Ⅱ）令
，讨论函数
在区间
上零点的个数。请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
为⊙
的直径，直线
与⊙
相切于
，
垂直
于
，
垂直
于
，
垂直
于
，连接
，
.

证明：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
为参数），以该直角坐标系的原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆
的方程为
．

（Ⅰ）求直线
的普通方程和圆
的圆心的极坐标；

（Ⅱ）设直线
和圆
的交点为
、
，求弦
的长．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
且关于
的不等式
的解集为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
均为正实数，且满足
，求
的最小值.

惠州市2016届高三第一次调研考试

理科数学参考答案与评分标准

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

B

C

B

C

B

C

D

A

A



（1）【解析】
，又
，故选C．

（2）【解析】
，故模为
，故选A．

（3）【解析】对选项D，由于当
时，
，故选D．

（4）【解析】因为
，所以
，解得
，故
，故选B．

（5）【解析】由余弦定理
，又由
，得
，故选C．

（6）【解析】
，
，所以
，故选B．

（7）【解析】该几何体为直三棱柱，故体为
，故选C．

（8）【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为
，
，
，所以最优解为
时可使目标函数取得最大值为2，故选B．

（9）【解析】
，周期
，相邻的两条对称轴间距离为
，所以距离为
，故选C．

（10）【解析】对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；

对于选项B，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；

对于选项C，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；

对于选项D，由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．

（11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为
，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为
，故不同保送的方法数为150种，故选A．

（12）【解析】抛物线
，焦点
为
，则双曲线
的
，则
，即双曲线方程为
，设
，
，则

，

则


，

因为
，故当
时取得最小值，最小值为
，故选A．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）
（14）
（15）
（16）

（13）【解析】
，则

．

（14）【解析】
的展开式的通项为
，

故常数项为

（15）【解析】

（16）【解析】可由待定系数法求得
，解得
，所以

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题意知
………………2分

解得
…………………………………………………………4分

所以
,得
…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
……………8分

∴
，
，

因
成等比数列，所以
，从而
，………10分

即
，
,解得
或
（舍去）

∴
……………………………………………………………………12分

（18）（本小题满