2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测

高三理科数学答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

B

C

C

D

A

C

B

D

A



一、选择题：

二、填空题：

题号

11

12

13

14

15



答案

2

10





②③





三、解答题：

16. (本小题满分12分)

在
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知

（Ⅰ）求证：
成等差数列；

（Ⅱ）若
求.

命题意图：三角函数与解三角形，简单题

解：（Ⅰ）由正弦定理得：

即
………………2分

∴

即
………………4分

∵

∴
即

∴
成等差数列。 ………………6分

（Ⅱ）∵
∴
……………8分

又
………………10分

由（Ⅰ）得：
∴
………………12分

17. (本小题满分12分)

为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试。

（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.

优秀人数

非优秀人数

总计



甲班









乙班



30





总计

60







（Ⅱ）现已知
三人获得优秀的概率分别为
，设随机变量表示
三人中获得优秀的人数，求的分布列及期望
.

附:
，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005





2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



命题意图：2×2列联表，概率，分布列及期望，中档题

解（Ⅰ）2×2列联表如下

优秀

非优秀

总计



甲班

40

20

60



乙班

20

30

50



总计

60

50

110



由
算得，

，

所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关…………………5分

（Ⅱ）设
成绩优秀分别记为事件
，

则
……5分

∴随机变量的取值为0，1，2，3 ……………………………………………………6分

所以
,

…………………………………………………………10分

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的分布列为：

X

0

1

2

3



P











E (X) =0×+1×+2×+3× =  …………………………………………………………12分

18. (本小题满分12分)

如图，已知,分别是正方形
边
,
的中点，
与
交于点，
都垂直于平面
，且
，
是
中点．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

命题意图：空间点、线、面的位置关系，中档题

解：法1：（Ⅰ）连结
，∵
平面
，
平面
，∴
，

又∵
，
，∴
平面
，

又∵，分别是
、
的中点，∴
，

∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
；……………………………5分

（Ⅱ）∵
平面
，
平面
，

∴

，

在等腰三角形
中，点
为
的中点，∴
，

∴
为所求二面角
的平面角，

设AB=4，∵点
是
的中点，∴
，

所以在矩形
中，可求得
，
，
………………………………9分

在
中，由余弦定理可求得：

，

∴二面角
的余弦值为
．…………12分

法2：（Ⅰ）同法1；…………………………………5分

（Ⅱ）设AB=4,建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
，
，M(0，0，2) ，
∴
，
，

则
，设平面
的法向量为
，

则
，即
，令
，

则
，
，即
，

同理可求平面MEF一个法向量
，…………………………………………9分

∴
，

∴二面角
的余弦值为
． ……………………………………12分

19. (本小题满分12分)

已知数列
的前项和
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，是否存在
，使得
、
、
成等比数列．

若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．

命题意图：数列综合应用，中档题

（Ⅰ）解法1：当
时，
， ……………1分

即

． …………………………………………3分

所以数列
是首项为
的常数列． ……………………4分

所以
，即

．

所以数列
的通项公式为

．…………………………6分

解法2：当
时，
， ………………………1分

即

． …………………………………………………3分

．…4分

因为
，符合
的表达式． ……………………………………………5分

所以数列
的通项公式为

． …………………………6分

（Ⅱ）假设存在

，使得
、
、
成等比数列，

则

．……………………………………………………………………7分

因为

，

所以
……………………10分

. ……………………………………11分

这与
矛盾．

故不存在

，使得
成等比数列．………………………12分

20. (本小题满分13分)

已知椭圆
的左、右顶点分别为,，右焦点为
，点是椭圆上异于，的动点，过点作椭圆的切线，直线
与直线的交点为，且当
时，
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当点运动时，试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并证明你的结论．

命题意图：圆锥曲线与圆综合应用

难题

解：（Ⅰ）依题可知
、
，…………1分

由
，得，
，………2分

化简得
，由
得
……………4分

故所求椭圆的方程是
.………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,

在点处的切线方程为
. 以
为直径的圆与直线
相切．

证明如下：由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为

.

则点坐标为
，
中点的坐标为
． ………………………6分

由
得．

设点的坐标为
，则
． ……………………8分

所以
，
．

因为点坐标为
，

（1）当
时，点的坐标为
，直线
的方程 为
，

点的坐标为
.

此时以
为直径的圆
与直线
相切 ………………9分

（2）当
时，直线
的斜率
.

所以直线
的方程为
,即
． …………11分

故点到直线
的距离

综上得，当点运动时，以
为直径的圆与直线
相切．……………………13分

21. (本小题满分14分)

已知函数
，其中为常数．

（Ⅰ）若
的图像在
处的切线经过点（3,4），求的值；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）当函数
存在三个不同的零点时，求的取值范围．

命题意图：函数与导数综合应用

难题

解：（Ⅰ）

……………………………2分

…………………………4分

（Ⅱ）
，令
，则

……………………………………7分

∴
时，
单调递减，

故
时，
，

∴当
时，
…………………………………………9分

（Ⅲ）

①

∴
至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………10分

②

∴
至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………11分

③

此时，
在
上递减，
上递增，
上递减，所以，
至多有三个零点。因为
在
递增，所以
，又因为
，所以
，使得
，又
，所以恰有三个不同零点：
，所以函数
存在三个不同的零点时，的取值范围是
。………………………………14分