桂城中学2015届高三高考模拟试理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集
是实数集
,
,
,则图中阴影

部分所表示的集合是( )

A．
B．
C．
D．

2．如果复数
是纯虚数,那么实数
等于（ ）

A．
B．

C．
或
D．
或

3． 函数
的图象（ ）

A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称

4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“

”是“
”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

5．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为 “伞数”。现从1，2，3，4，5，6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )

A．120个　　　B．80个　
　　C．40个　　　D．20个

6．已知数列
满足

且
,则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.某市
要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在
岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的众数大约是( )

A． 27.5岁 B． 30岁 C． 32.5岁 D． 35岁

8. 设
是平面向量的集合，映射
：
满足

，则对
、
，
，

下列结论恒成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）

（一）必做题（9～13题）

9. 不等式
的解集为_______.

10. 若椭圆
的离心率为
，则实数
为_______.

11. 在
的展开式中, 二项
式系数最大的项是________.

12．已知函
数
,则
_______

13. 在
中,角
所对的边分别为
,若
,
,则
．

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系
中,过点
作圆
的切线,则切线的极坐标方程为_______________.

15.(几何证明选做题)如图,两个等圆⊙
与⊙
外切,过
作⊙

的两条切线

是切点,点
在圆
上且不与点

重合,则
= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）函数
图象由
图象如何变换得到？

（Ⅲ）若
,且
,试求
的值.

17．（本小题满分12分）

设不等式组
确定的平面区域为U，

确定的平面区域为V．

（I）定义坐标为整数的点为“整
点”．在区域U内任取3个整点，求这些整点中至多有1个整点在区域V的概率；

（II）在区域U内任取3个点，记此3个点在区域V的个数为X，求X的概率分布列及其数学期望．

18.（本题满分14分）如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，

AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，
ABC=45°，AB=2
，BC=2AE=4，

三角形PAB是等腰三角形．

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的余弦；

（Ⅲ）若
为线段
上一点，当二面角
为
时，

求三棱锥
的体积．

19（本题满分14分）已知二次函数
在
处的切线方程为
，且满足

(Ⅰ) 求
，并求
的零点；

(Ⅱ) 数列
和
，若对任意的实数
，

定义在实数集R上的一个函数。设圆

是各项都是正数的等比数列，记
是前n个圆的面积之和。

①求数列
和
的通项公式； ②证明：

20（本题
满分14分）

设点
、
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
．

（I）求椭圆
的方程;

（II）设直线
（直线
、
不重合）,若
、
均与椭圆
相切，试探究在
轴上是否存在定点
,使点
到
、
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由．

21（本题满分14分）

设函数
定义在
上且
导函数

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）讨论函数
的极值，若存在，请用极值点表示极值；

（Ⅲ）证明：任给
和
，存在
，使不等式
成立。

桂城中学2015届高三高考模拟试题理科数学答案

1．【解析】B；2．【解析】D；3．【解析】D；4.【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,
,则
,反过来则不一定.所以“
”是“
”的必要不充分条件

. 答案:B.

5.【解析】C；
6．【解析】A；

7.【解析】C 根据直方图来估计众数的方法是，取频率最大的区间的中间值。

8.【解析】C；不妨取
是两个互相垂直但模的大小不相等的两个向量，则可以判断出来。

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

9.【解析】
；

10.【解析】
；若焦点在x轴，则
，
若焦点在y轴，则
，

11.【解析】
；在
的展开式中共有7项，其中二项式系数最大的项是最中间项（第4项），为
.

12．【解析】画图结合定积分的意义可知所求定积分为曲线与
轴围成的面积
.

13.【解析】
；由
得
,代入
得
,整理得
,又
,所以
.

14.【解析】
；转化为过点
作圆
的切线,

显然切线方程为
,对应极坐标方程为
.

15.【解析】
；连结
,易知
为正三角形,由弦切角定理得
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16【参考解答】（Ⅰ）

------2分

函数
的最小正周期是
，--------3分

当
，最大值是4. --------4分

（Ⅱ）把
上所有点向右平移
个单位，得到
的图象；再把后者所有点的纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变）而得到函数
.----8分

（Ⅲ）因为
，所以
，

所以
，所以
，所以
-------10分

所以
，所以
---------11分

所以
------------12分

17解：（Ⅰ）由题意，区域Ｕ(图中矩形ABDE)内共有
个整点，区域Ｖ（图中△ABC）内共有
个整点 1分

设所取3个整点中至多有1个整点在区域Ｖ的概率为
， 2分

则
． 5分

∴这些整点中至多有1个整点在区域V的概率为
6分

（Ⅱ）区域U的面积为8(图中矩形ABDE的面积)，区域V的面积为4（图中△ABC面积），

7分

∴在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为
． 8分

X的取值为0，1，2，3．随机变量X满足二项分布，即
9分

∵
，

，

，

． 11分

∴Ｘ的分布列为

Ｘ

０

１

２

3

















数学期望
． 12分

18【解析】（Ⅰ）证明：因为
ABC=45°，AB=2
，BC=4，所以在
中，由余弦定理得：
，解得
，

所以
，即
，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥
，

又PA
，所以
，又AB∥CD，所以
，又因为

，所以平面PCD⊥平面PAC；-----5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作
于H，则
，又AB∥CD，AB
平面
内，所以AB平行于平面
，所以点A到平面
的距离等于点B到平面
的距
离，过点B作BO⊥平面
于点O，则
为所求角，且
，又易求
，所以
，即

=
，所以直线PB与平面PCD所成角的余弦为
；----10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）
，
，所以
，

，所以
，根据二面角定义，
为二面角
的平面角，即
，又三角形PAB为等腰三角形，PA=AB=
，所以PA=AC，即
为等腰直角三角形，可得
点为
中点，所以
到底面的距离为
，在
中，AE=2，易算得DE=
，
，所以
，又

所以所求体积
.---------14分

19、解（1）由已知可设：

，由切线方程可知：
，①
，②

又因为
可得：
③，

综合①②③解得：

，因为
所以
的零点为：
。--------5分

（2）①

所以
----1
0分

②

----12分

------14分

20解: （I）设
,则有
,

由
最小值为
得
,

∴椭圆
的方程为
………………4分

（II）把
的方程代入椭圆方程得

∵直线
与椭圆
相切,∴
,化简得

同理可得:

∴
,若
,则
重合,不合题意,

∴
,即
…………………8分

设
在
轴上存在点
,点
到直线
的距离之积为1,则

,即
,

把
代入并去绝对值整理,
或者

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的
恒成立 则
,解得
;

综上所述,满足题意的定点
存在,其坐标为
或
…………………14分

21[解析]（1）

又

即

-------3分

（2）

对
求导得：

令
得：

令