2014—2015学年度高三级三模联考试卷文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，则复数

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
,
，则

A．
B．
C．
D．

3. 已知
，那么“
”是“
共线”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件 D．充要条件

4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为

A．
B．
C．
D．

5.在
中，若
，则
的形状是

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 48 B.

C.16 D. 32

7．已知偶函数f（x），当
时，f（x）=2sinx，

当
时，
，则

A．
B．1 C．3 D．

8.曲线
与曲线
的

A.长轴长相等　　　　B. 短轴长相等　　C.离心率相等　　　　D. 焦距相等

9.指数函数
与二次函数
在同一坐标系中的图象可能的是

10．对于集合，如果定义了一种运算“
”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：

（ⅰ）
，都有
；

（ⅱ）
，使得对
，都有
；

（ⅲ）
，
，使得
；

（ⅳ）
，都有
，

则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：

①
，运算“”为普通加法；②
，运算“”为普通减法；

③
，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．已知函数
，则在点
处的切线方程为 .

12．设
,其中实数
满足
,若的最大值

为12,则实数
________.

13、在各项均为正项的等比数列
，已知

，则

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）在梯形
中，
∥
，
，
，点、分别在
、
上，且
∥
，若
，则
的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线
与曲线
的

参数方程分别为
：
（为参数）和
：
（为参数），

若
与
相交于、两点，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求
的最大值和最小正周期；

(2)?若
，是第二象限的角，求
.

17．（本小题满分12分）

近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征

召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：

第1组
，第2组
，第3组
，第4组
， 第5组
，

得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．

（Ⅰ）求该组织的人数．

（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．

18．（本小题满分14分）

如图，三棱锥
中，
，
为
的中点，

，为
上一点，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
⊥平面
；

（Ⅲ）求四面体ABCD的体积。

19．（本小题满分14分）

已知
是等差数列，公差为
，首项
，前项和为
.

令
,
的前
项和
.数列
满足

，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，求的取值范围.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，原点到过点
的直线的距离是
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线
与椭圆C有且只有一个公共点，过
作
的垂线与直线
交于点
，求证：点
在定直线上，并求出定直线的方程.

21、（本小题满分14分）

已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，求函数
在
上的最大值。

三模参考答案及评分标准

CBAC B DADCB

11.
12.2 13.4 14.
15.

16. 解：(1)∵

……………………………………………3分

∴
的最大值为2, 最小正周期为
………………………………6分

(2)由(1)知,

所以
,即
……………………………………8分

又是第二象限的角, 所以

所以
………………………12分

17.

（A3,C1）,共有12种, …………11分

则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………12分

18. （本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）

又
平面
，
平面

∥平面
……………4分

（Ⅱ）由等边
，等边
，
为
的中点得：
，

平面
又
平面

在
中，
，
，

，
……………7分

又

在
中，由余弦定理得：
……………8分

……………9分

又

⊥平面
……………10分

（Ⅲ）
⊥平面

……………14分

19．（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为
，因为

所以

则
，………………………………3分

则
，

解得
，

所以
． ……………………7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

，

由


， ………………11分

因为
随着的增大而增大，所以
时，
最小值为

所以
．………………………………………………………………14分

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）由于抛物线
的焦点坐标为
，所以
，

因此
， ……………………2分

因为原点到直线
：
的距离为
，

解得：
，……………………4分

所以椭圆的方程为
．……………………5分

（Ⅱ）由
，得方程
，（）……………6分

由直线与椭圆相切得
且
，

整理得：
，……………………8分

将
代入（）式得

，即
，解得
，

所以
，……………………10分

又
，所以
，所以
，

所以直线
方程为
，……………………11分

联立方程组
，得
，

所以点
在定直线
上．……………………14分