2014—2015学年度高三5月测试理科数学试题

命题人：揭阳一中 黄文凤

一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合
,
或
，
,则的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

2. 已知函数
，则该函数是（ ）

A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减

C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减

3．某空间几何体的三视图如图 1所示，则此几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 设直线:
,双曲线

,则“
”是“直线
与双曲线C恰有一个公共点“的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．若变量
满足约束条件
，且
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．图 2是一个算法的流程图，则输出
的值是( ).

A.2012 B.2013 C.2014 D.2015

7．在一次数学测试(满分为150分)中，某校2000名考生的分数X近似服从正态分布N(100, 2)．据统计，分数在100~110分段的考生共440人，估计分数在90分以上的考生大概有( )人．

A.560 B.880 C.1120 D. 1440

8．设
是整数集的非空子集，如果
，都有
，则称
是一个“好集”，已知S是一个“好集”，下面命题为假命题的是：

A．一切奇数都属于S B．偶数
都不属于S

C．若
，则
D．若
，则

二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．)

（一）必做题：(第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.)

9．不等式
的解集是 .

10．若复数满足
，则在复平面内，的共轭复数对应的点坐标是 .

11. 已知
,
,且
与
的夹角为钝角,则实数
的取值范围是 .

12. 设
为递减的等比数列，其中为公比，前项和
，且

，则
.

13．袋中有5个球，其中有彩色球2个．甲、乙二人先后依次从袋中取球，每次取后不放回，规定先取出彩色球者获胜．则甲获胜的概率为 .（以整数比作答）

（二）选做题：(第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)

14. (坐标系与参数方程选做题) 曲线C的参数方程为，
（为参数），则此曲线的极坐标方程为 .

15. (几何证明选讲选做题) 如图 3，已知
和
是圆的两条弦，过点作圆的切线与
的延长线相交于．过点
作
的平行线与圆交于点,与
相交于点，
，
，
，则线段
的长为 ．

三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16.（本题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为
已知
，
．

（1）求△ABC的面积；

（2）求
．

17．（本题满分12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
的产品为合格品，否则为不合格品．表 1是甲流水线样本频数分布表，图 4是乙流水线样本的频率分布直方图．

（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；

（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；

（3）由以上统计数据完成下面
列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” ． 附：下面的临界值表供参考：

甲流水线

乙流水线

合计



合格品









不合格品









合　计









 (参考公式：
，其中
)

18．（本题满分14分）如图 5所示，在正四棱锥
中，
，、分别为
、
边的中点，直线
与面
所成角为
.

(1)求证：
平面
.

(2)求二面角
的大小.

19．（本题满分14分）已知数列
的各项均为正数，其前项和为
，且满足

，
N
.

（1）求
，
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）证明:对一切正整数,有
.

20．（本题满分14分）设抛物线
：
的焦点为，动点到点的距离与到直线
的距离之比为
.

(1)求动点的轨迹
的方程；

(2) 过点作直线
与曲线
交于、
两点，
为
与轴的交点，直线
相交于点
，直线
相交于点
，求证:
.

21．（本题满分14分）设函数
.

（1）当
时，求函数
在
上的极值点；

（2）当
时，设
.证明：存在唯一的
，使得

2014—2015学年度高三5月测试

理科数学参考答案

一、选择题：ADBA CBDD

二、填空题：

9.
; 10.
; 11.
12.
; 13.
;

14.
(或
)； 15.

三、解答题：

16. （1）解法1：由sinA=2sinB，根据正弦定理得
，

又∵
∴
，……………………2分

由余弦定理得

，

，…………………………4分

∴S△ABC=
．…………………………6分

解法2：由sinA=2sinB，根据正弦定理得
，

又∵
∴
，…………………………2分

∵
，∴△ABC为等腰三角形，作底边AC的高BD,D为垂足，则D也是AC的中点，

∴

，……………………4分

∴S△ABC=
.……………………………………6分

（2）由余弦定理得
．

∴
，……………………………………8分

，
，……10分

∴

=
.………12分

17. 解：(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下：

-----------------4分

(2)由图１知，乙样本中合格品数为
，

故合格品的频率为
，据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率
,-------------------------------------------------------------------------6分

设
为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则

∴
．

即从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率为
．------------8分

甲流水线

乙流水线

合计



合格品


30


36

66



不合格品


10


4

14



合　计

40

40


80



（3）
列联表如下：

-----10分

∵
＝

∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．-------------12分

18.解：(1)如图 7取
的中点
，连结
.

因为,
分别为
的中点，

所以
，
.

面
，
面
，
面
……2分

同理可得
面

又因为
，所以面
面
.…………3分

面
，
面
.……………………4分

(2)（法一）过点
作
面
于
，则由正四棱锥的定义可知
为正方形
的中心.

取
的中点
，连结
,
，则

设
，则
，设点到面
的距离为
.

又

由
得
………………………………7分

直线
与面
所成角为
，

设直线
与面
所成角为
，则
………………8分

因为
，故有
，解得
.………………9分

过
作
于
，连结
交
于
，连结
.

面
，
面
，故

又
，
,

面
………………………………………………10分

面
，

面
,故

为二面角
的平面角.………………………………………………11分

由条件可知
,故
………………………………12分

在
中，

故

在
中，由正弦定理有
.

所以，在
中，
……………………13分

，故所求的二面角
的大小为
.………………14分

（法二：向量法）

以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系.则