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宜昌一中2015年高考适应性考试（二）

数 学（理工类）

本试卷4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U＝R，
，
，则集合?U（A∪B）＝( )

A．
B．
C．
D．

2.已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
的模等于（ ）

A．
　 B．
C．
D．

3.
在
处取得极大值，则（ ）

A．
一定是奇函数 B．
一定是偶函数

C．
一定是奇函数 D．
一定是偶函数

4.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形。若

该几何体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），

（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），则第五个顶点的坐标可能为( )

A．（1，1，1） B．（1，1，
） C．（1，1，
） D．（2，2，
）

5．已知
函数是一个求余函数，其格式为
，其结果为
除以
的余数，例如
. 下面是一个算法的程序框图，当输入的值为
时，则输出的结果为（ ）.

A．7 B．5 C．6 D．4

6.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )

A．
B．
C．
D．

7.已知
满足约束条件
,若
的最小值为1,则实数
的值是 ( )

A.4 B.
C. 2 D. 1

8.对任意正数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C ．
D．

9.已知椭圆

（
）的左右顶点分别为
，
，左右焦点分别为
，
，点
为坐标原点，线段
的中垂线与椭圆在第一象限的交点为
，设直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
,则函数
的零点个数不可能是（ ）

A．3 B． 0 C．2 D．1

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请

将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（一）必考题（11—14题）

11.若
，且
在
上的投影为
，则

12.已知a＞0，(x–
)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x–
)6的展开式中各项系数之和为 （用数字作答）．

13.曲线
＝1与两坐标轴所围成图形的面积是　　　　　　　

14.图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列
的前四项，依此着色方案继续对三角形着色.

（1）数列
的通项公式
_____________；

（2）若数列
满足
，记
，

则
的个位数字是_________．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15.（选修4-1：几何证明选讲）如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________

16. （选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为

（t为参数），C在点
处的切线为
，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，则
的极坐标方程为

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在等比数列
中，其前
项和为
,已知
,
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）是否存在正整数
，使得
成立，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分12分）

在△ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．

19.（本小题满分12分）

在如图4所示的几何体中，四边形
为平行四边形，平面

平面
，
，
∥
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
．

（Ⅱ）当二面角
的平面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分12分）

某通讯设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间Q(单位：年)有关，若Q≤1,则

销售利润为0元；若13,则销售利润为20万元.已知

每台该种设备的无故障使用时间为Q≤1,13这三种情况发生的概率分别p1,p2,p3,

又知p1, p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)记两台这种设备的销售利润之和为ξ，求ξ的分布列和期望.

21.（本小题满分13分）

如图，抛物线
：
与椭圆
：
在第一象限的交点为
，
为

坐标原点，
为椭圆的右顶点，
的面积为
.

（Ⅰ）求抛物线
的方程；[

（Ⅱ）过
点作直线
交
于
、
两点，射线
、
分别交
于
、
两点，记

和
的面积分别为
和
，问是否存在直线
，使得
？若存在，

求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分14分）

已知函数
的图象在点
处的切线方程为
.

(Ⅰ)求
的值及
的单调区间

(Ⅱ)是否存在实数
，使得射线
与曲线
有三个公共点？若存

在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由

(Ⅲ)设
，为正实数，且
，

证明：

宜昌一中2015年高考适应性考试（二）数学（理）

评 分 标 准

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A卷

A

D

D

B

A

D

C

B

C

A



B卷

C

D

B

C

A

D

A

B

D

B



11.
12.
13.
14. （1）
（2）

15.
16.

17.（1）设等差数列的公比为
，依题意，有
，
…………2分

解得
或
………………4分

故数列
的通项公式为
或
………………6分

（2）①当
时，由

，无解 ………………7分

②当
时，
，

由

……………11分

综合①②知，存在比为
，使得
成立 ……………12分

18.（Ⅰ）（过程略）A＝． …5分

（Ⅱ）因为∠DAB＝，所以AD＝BD·sinB，∠DAC＝． 在△ACD中，有＝，又因为BD＝3CD，所以3sinB＝2sinC， 由B＝－C得cosC－sinC＝2sinC，整理得tanC＝． …12分

19．（Ⅰ）证明：因为
，平面
平面
，所以
平面
,

又
∥
，所以
平面
，所以
,又
，所以
≌
,

； ………………………………………………5分

（Ⅱ）取
的中点
，因为
，所以
,又平面
平面
，

所以
平面
, …………………………………………………6分

如图建立空间直角坐标系，则
，
，
,设

，设平面
的法向量为
，

则由
,即
，得
，
由（Ⅰ）知
平面
，所以平面
的法向量为
,
，
,所以

………………12分

20．解： (1)由已知得p1+p2+p3=1,∵p2=p3,∴p1+2p2=1. ∵p1,p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，∴

故a=2 …………4分

(2)ξ的可能取值为0,10,20,30,40. P(ξ=0)=
P(ξ=10)=
, P(ξ=20)=
P(ξ=30)=
P(ξ=40)=

随机变量ξ的分布列为:

ξ

0

10

20

30

40



P













E(ξ)=
…………………12分

21. 解: (Ⅰ)因为
的面积为
,所以
，代入椭圆方程得
， 抛物线的方程是：
(Ⅱ) 解：显然直线
不垂直于
轴，故直线
的方程可设为
，与
联立得
.设
,则


,由直线OC的斜率
,故直线
的方程为
，与
联立得
，同理
，

所以

………8分

可得