2015年温州市高三第三次适应性测试

数学（文科）试题 2015.5

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：

柱体的体积公式：
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中
表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，
，则
( ▲ )

A．
B．
C．
D．

2．已知命题
，则
为( ▲ )

A．
B．

C．
D．

3．已知
是实数，则“
”是“
”的( ▲ )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ▲ )

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

5．要得到函数
的图象，只需将函数
图象上的所有点( ▲ )

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

6．已知向量
，则
( ▲ )

A．2 B．
C．3 D．

7．已知双曲线
:
（
）的右焦点
也是抛物线
:
（
）的焦点，
与
的一个交点为
，若

轴，则双曲线
的离心率为( ▲ )

A．
B．
C．
D．

8．如图，正三棱柱
（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，
为
的中点．
、
分别是
、
上的动点（含端点），且满足
．当
运动时，下列结论中不正确的是( ▲ )

A．平面
平面

B．三棱锥
的体积为定值

C．
可能为直角三角形

D．平面
与平面
所成的锐二面角范围为

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分。

9．已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则数列
的首项
▲ ，通项
▲ ．

10．如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的

体积为 ▲ cm3，表面积为 ▲ cm2．

11．已知
（
），

则
▲ ，
▲ ．

12．定义在
上的奇函数
满足：当
时，
，

则
▲ ；使
的
的取值范围是 ▲ ．

13．已知实数
满足
，则
的最大值为 ▲ ．

14．若直线
（
）平分圆
，则
的最小值为

▲ ．

15．若对任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分15分）已知
的内角
的对边分别是
，且
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围．

17．（本小题满分15分）已知数列
的前
项和为
，且
（
）．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，记
，求证：
．

18．（本小题满分15分）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为平行四边形，
，
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本小题满分15分）设抛物线
：

的焦点为
，过
且斜率为
的直线
交抛物线
于
、
两点，且
．

（Ⅰ）求抛物线
的标准方程；

（Ⅱ）若
，
为坐标原点，求
的面积．

20．（本小题满分14分）对于函数
，若存在
，使
成立，则称
为
的一个不动点．设函数
（
）．

（Ⅰ）当
，
时，求
的不动点；

（Ⅱ）若
有两个相异的不动点
：

（i）当
时，设
的对称轴为直线
，求证：
；

（ii）若
，且
，求实数
的取值范围．

2015年温州市高三第三次适应性测试

数学（文科）试题参考答案 2015.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

A

D

C

B

A

C



二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分。

9. 1；
10.
；
11.
；

12.
；
13. 0 14.
15.
或

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分15分）解：（I）由已知得：
， …………………2分

故
， ……………………………3分

； ……………………………7分

（II）解法1：一方面
， …………………………9分

另一方面：

…………………13分

即
，
（当且仅当
时取到等号） ………15分

综上：
．

解法2：一方面
， …………………………9分

另一方面，由正弦定理得：
，及

…………………………11分

…………………………13分

，
，

，从而
． …………………………15分

17．（本小题满分15分）解：（I）当
时，
，得
……2分

当
时，
…… ①

…… ②

①-②，得：
，即
，

为公比为3，首项为3的等比数列， ………………………5分

（
）． ………………………7分

（II）
， ………………………9分

， ………………………12分

………………………14分

，即
． ………………………15分

18．（本小题满分15分）解：（I）
平面
，

． …………………………2分

又

，

平面
． …………………………5分

又
平面
，

． ………………7分

（II）解法1：过
作
于
，连接
，………9分

，
，

平面
．

在平面
上的射影即为
，

故
即为直线
与平面
所成的角．……12分

不妨记
，则
，
，

在
中：

，
，

． ……………15分

解法2：如图所示建系，不妨设
，

则
，
，

，
，
，
，

，
，
…10分

设平面
的法向量为
，

，取
…………………………13分

记所求线面角为
，
． …………………………15分

19．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）
，设直线
的方程为
，………2分

联立
，消
，得：
， …………………4分

，从而
，抛物线
的方程为
． ………………6分

（Ⅱ）由已知，
，直线
的方程为
，

联立
，消
，得：
，所以
， ………9分

（方法一）

又

到直线
的距离
， …………………13分

． ……………………15分

（方法二）

……………………13分

． …………………………15分

20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）依题意：
，即
，

解得
或1，即
的不