2015年温州市高三第三次适应性测试

数学（理科）试题 2015.5

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式：

柱体的体积公式：
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中
表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题P：?x0∈R,
，则
是( ▲ )

A．?x0∈R,
B．?x∈R ,

C．?x∈R ,
D．?x∈R ,

2．已知a，b是实数，则“a>|b|”是“a2>b2”的( ▲ )

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知m,n是两条不同的直线，α,β,γ为三个不同的平面，则下列命题中错误的是( ▲ )

A．若m⊥α,m⊥β，则α//β B．若m⊥α,n⊥α，则m//n

C．若α//γ,β//γ，则α//β D．若α⊥γ,β⊥γ，则α//β

4．要得到函数
的图象，只需将
图象上所有的点( ▲ )

A．向左平行移动
个单位长度 B．向右平行移动
个单位长度

C．向左平行移动
个单位长度 D．向右平行移动
个单位长度

5．已知向量a,b,c，满足|a|=|b|=|a?b|=|a+b?c|=1，记|c|的最大值为M，最小值为m，则M+m=( ▲ )

A．
B．2 C．
D．1

6．已知双曲线C：
的左、右焦点为F1，F2，若双曲线C上存在一点P，

使得△PF1F2为等腰三角形，且cos∠F1PF2=
，则双曲线C的离心率为( ▲ )

A．
B．
C．2 D．3

7．如图，正三棱柱ABC?A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是( ▲ )

A．平面DMN⊥平面BCC1B1

B．三棱锥A1?DMN的体积为定值

C．△DMN可能为直角三角形

D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为

8．若对任意
，不等式
恒成立，

则a的取值范围是( ▲ )

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分。

9．设全集
，集合A={x|x2?4x?5=0}，B={x|x2=1}，则
▲ ，
▲ ，

▲ .

10．已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且满

足a4=10,S6=S3+39，则数列{an}的首项a1= ▲ ，

通项an= ▲ .

11．如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表

面积是 ▲ cm2，体积为 ▲ cm3.

12．已知
,0≤α≤π，则sin2α= ▲ ，sin(2α?
)= ▲ .

13．已知实数x,y满足
，则
的取值范围是 ▲ .

14．已知正数x,y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为 ▲ .

15．在平面内，|AB|=4，P,Q满足kAP?kBP=
, kAQ?kBQ=?1，且对任意λ∈R,
的最小值

为2，则|PQ|的取值范围是 ▲ .

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分15分）在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a,b,c，

且满足c(acosB?
b)=a2?b2.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若a=
，求b+c的取值范围.

17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD=AD=1，
，求二面角P?AD?E的余弦值．

18．（本小题满分15分）如图，在△ABC中，
，CD、BE分别是△ABC的两条中线且相交于点G，且|CD|+|BE|=6.

（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；

（Ⅱ）直线
与轨迹Γ相交于M、N两点，

P为轨迹Γ的动点，求△PMN面积的最大值.

19．（本小题满分15分）对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的一个不动点．设函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)．

（Ⅰ）当a=2，b=?2时，求f(x)的不动点；

（Ⅱ）若f(x)有两个相异的不动点x1,x2，

（ⅰ）当x1<1

（ⅱ）若|x1|<2且|x1?x2|=2，求实数b的取值范围．

20．（本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3Sn=an?1.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列{bn}前n项的和为Tn，证明：Tn＜
．

2015年温州市部分学校高三第三次适应性测试

数学（理科）试题参考答案 2015.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

D

C

A

C

C

B



二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分。

9．{?1},{?1,1,5},{5} 10．
11．
12．

13．
14.2 15．

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.解析：（Ⅰ）

[:.]

………………………………………3分

…………………………………………………………………4分

…………………………………………………………………………………6分

………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解法1由正弦定理得
，………………………………8分

∴ b=2sinB，c=2sinC.

∴ b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+
cosB

=
……………………………………………………………………………11分

∵ B∈(0,
)，∴
，
………………………………14分

所以b+c
.…………………………………………………………………………15分

（Ⅱ）解法2：

……………………………………7分

……………………………………………………………………………9分

，…………………………………………………………………12分

，即
……………………………………………………………13分

b+c
.. …………………………………………………………………………15分

17解析：（Ⅰ）

底面
,
底面

…………………………………………………………………………………2分

…………………………………………………………………………………3分

平面PAD……………………………………………………………………………5分

平面PBD，

…………………………………………………………………7分

（Ⅰ）解法1
平面
,

即
为所求的角………………………………………………………………………9分

,
………………………………10分

在
中，由余弦定理得

…………………………………………13分

在
中，
……………………………………15分

解法2：以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系

,

设P（0,x,y）,
,
………………………9分

平面PAD，所以平面PAD的一个法向量
……10分

设平面ADE的一个法向量

，
，

解得
………………………………………………13分

设
为所求的角

……………………………………………15分

18.解析：（Ⅰ）设BE与CD交于G点，则G为△ABC的重心，

……………………………………………………………………2分

由于|CD|+|BE|=6，则BG+CG=4，根据椭圆的定义，故G是以B,C为焦点，长轴长为4的椭圆（除x轴上点外），
…………………………………………………4分

即G满足的轨迹方程为
………………………………………………6分

（Ⅱ）设

得到
，
……………………………8分

……………………………………………………10分

设直线
，当直线与椭圆相切时，切点即为P，此时三角形面积最大

，因为相切，故

（舍） ……………………………12分

……………………………………………………14分

…………………………………15分

备注：也可以用两平行线距离公式

19. (本题14分）解：（Ⅰ）依题意：
，即2
，

解得
或1，即
的不动点为
和
； …………………………5分

（Ⅱ）（ⅰ） 由f (x)表达式得m =－，

∵ g(x) = f (x)－x = a x 2 + (b－1) x + 1，a > 0，

由 x1，x2 是方程f (x) = x的两相异根，且x1 <1 < x2，

∴ g(1) < 0 ? a + b < 0 ? －> 1 ? －> ，即 m > ． …………9分

(ⅱ）△= (b－1) 2－4a > 0 ? (b－1) 2 > 4a，

x1 + x2 = ，x1x2 = ，

∴ | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = () 2－= 2 2， ……………11分

∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*)

又 | x1－x2 | = 2，

∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，

要使g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)，

则 g(x) 对称轴 x = ? (－3,3)， ……………13分

∴ －3 < < 3 ? a > | b－1 |，

把代入 (*) 得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2，

解得：b < 或 b > ，

∴ b 的取值范围是：(－?, )∪( ,+?)． ……………………………………15分

20.解：（Ⅰ）由3Sn=an?1，得a1=S1=?
，……………………………………………2分

当n≥2时，3Sn-1=an-1?1,

两式相减得3Sn?3Sn-1=an?an-1，即an=
,……………………………………………4分

所以，数列{an}是首项a1=?
，公式q=?
的等比数列，

所以，
……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
．
．…………………10分

∴

[:.]

………………………………………………………………………………………………14分

命题教师 吴云浪 徐登群 郑志远

鲍凡克 凌爱民 叶事一

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