2015年海口市高考调研测试

数学（理科）试题(二)

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)．

1．已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
为虚数单位，则复数
在复平面中对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列说法中正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆命题是真命题

B．命题
，
,则
，

C．“
”是“
”成立的充分条件

D．“
”是“
”成立的充分不必要条件

4．已知
、
为平面向量，若
与
的夹角为
，
与
的夹角为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．现有六本书，其中两本相同，其余四本各不相同，分成三堆，每堆两本，则不同的分法的种数为（ ）

A．9种 B．12种 C．15种 D．18种

6．下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．执行如图的程序框图，若输出的
，则输入整数

的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
的单调增区间为
[:.]

（
），则函数
在区间
的取值

范围是（ ）

A．
B．

C．
D．
[:]

9． 定义在
上的奇函数
满足当
时，
，则当
时，
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．若实数
、
满足不等式组
，若使得目标函数
有最小值的最优解为有无穷多个，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设
是
的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数

都有对称中心
，其中
满足
。已知
[:.]

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知点
是双曲线
右支上的动点，
、
分别是双曲线的左、右焦点，
的角平分线
与
轴交于点
，设双曲线的半焦距为
，若
的范围是
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)．

13．设随机变量
，
，其中
，则
________．

14．椭圆
的焦距为
，左、右焦点分别为
、
，点
是椭圆上一点，
，△
的面积为
，则椭圆的标准方程为________．

15．已知三棱锥
的顶点
、
、
、
都在半径为
的球面上,若

且
、
、
两互相垂直,点
在底面
的投影位于△
的几何中心，则球心

到截面
的距离为____________．

16．如右图所示，某服装设计师要在一块条形布料上画一个等边

△
作为点缀，使
、
、
三点分别落在条形布料的线

条上，已知条形布料相邻横线间的距离为3厘米，则等边

△
的边长应为__________厘米．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

17．(本小题满分12分)

已知数列
的前
项和为
，且
，
，
．

（Ⅰ）若数列
为等比数列，求
的取值范围和此时数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，且
，证明：
为等差数列，并求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形
为正方形，

平面
，


，

．

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）在棱
上是否存在一点
，使得平面
平面

？如果存在，求
的值；如果不存在，说明理由．

19．(本小题满分12分)[:]

2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元．适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图（图1）：

（Ⅰ）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；

（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有
以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

（Ⅲ）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率．

附：临界值表

参考公式：
，
．

20．(本小题满分12分)

设点
是平面直角坐标系的动点，
，以
为圆心，
为半径的圆交
轴于
，
两点，弦
的长
．

（Ⅰ）求点
的轨迹方程；

（Ⅱ）过点
作互相垂直的两条直线
，
,分别交曲线
于点
、
和点
、
．设线段
,
的中点分别为
、
，求证:直线
恒过一个定点;

21．(本小题满分12分)

对于函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设直线
：
和直线
：
分别与
和
相切，
，求证实数
满足：
或
．

四、选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分． 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，过圆
外一点
分别作圆
的两条切线
、
，延长
于点
，使
，

直线
交圆
于点
，
交圆
于点
，交
于点
，
与
交于点
．

（Ⅰ）证明：
、
、
、
四点共圆．

（Ⅱ）若
//
，求证：△
为等腰直角三角形．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极

坐标方程为
，圆
的极坐标方程为
，已知
与
交于
、
两点，其中点
位于第一象限．

（Ⅰ）求点
和点
的极坐标；

（Ⅱ）设圆
的圆心为
，点
是直线
上的动点，且满足
，若直线
的参数方程为
（
为参数）的动点，则
的值为多少？

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设
，
，

，且
，证明下列不等式：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

2015年海口市高考调研测试（二）

数学试题（理科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

C

D

A

B

C

A

B

B

C

A



二、填空题

13．
14．
15．
16．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）（ⅰ）当
时，由
，①，得
，

由数列
为等比数列，知
且
，此时
-------------------------------------2分

（ⅱ）当
时，
，②，①
②得：
，

即
，∵
且

∴