余姚市高三第三次模拟考试

高三数学（理）试题卷

第Ⅰ卷（选择题部分 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．

1. 设全集为U=R，集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2. 设
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）

A. 若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
； D. 若
，则

3. 已知
则“
”是“
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知
的图象的一部分如图

所示，若对任意
都有
，

则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知实数变量
满足
且目标函数
的最大值为4，则实数
的值为( )

A.
B.
C. 2 D. 1

6. 设等差数列
的前
项和为
，且满足
，对任意正整数
，都有
，则
的值为( )

A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009

7. 设
分别是双曲线
的左、右焦点，
是
的右支上的点，射线
平分
,过原点
作
的平行线交
于点
,若
,则
的离心率为（ ）

A.
B. 3 C.
D.

8. 已知实数
满足
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题部分 共110分）

二、填空题：本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共36分．

9. 若指数函数
的图像过点
，则
_____________；不等式
的解集为 .

10. 已知圆
的圆心在直线
上，则
；圆
被直线
截得的弦长为____________.

11. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为 ；外接球的体积为 ．

12．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，

在斐波那契数列
中，
，
[:]

则
____________；

若
，则数列
的前
项和

是________________（用
表示）．

13．已知函数
，若关于
的方程
有4个不同的实数根，则
的取值范围是________________．

14. 定义：曲线
上的点到点
的距离的最小值称为曲线
到点
的距离。已知曲线
到点
的距离为
，则实数
的值为___________．

15. 设正
的面积为2，边
的中点分别为
，
为线段
上的动点，则
的最小值为_____________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分15分）在
中，内角
所对的边分别为
已知
，

（Ⅰ）求角
的取值范围；

（Ⅱ）若
的面积
，
为钝角，求角
的大小．

17．（本题满分15分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
.

（Ⅰ）平面
平面
；

（Ⅱ）
为
的延长线上的一点．若二面角
的大小为
，求
的长．

18．（本题满分15分）如图，
分别是椭圆
的左、右焦点，且焦距为
，动弦
平行于
轴，且

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若点
是椭圆
上异于点
的任意一点，且直线
分别与
轴交于点
，若
的斜率分别为
，求
的取值范围．

19．（本题满分15分）已知数列
满足下列条件：

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
的前
项和为
，求证：对任意正整数
，均有

20．（本题满分14分）已知函数
，其中
为实常数．

（Ⅰ）判断
在
上的单调性；

（Ⅱ）若存在
，使不等式
成立，求
的取值范围．

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高三数学(理)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．

B D B C D C A C

二、填空题：本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共36分．

9.
；
10. 2；8 11. 4；
12. 13；
13.
14.
或
15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（Ⅰ）由
得

即

因为
所以
……………3分

由正弦定理，得
故
必为锐角。 ……………4分

又
,所以
……………6分

因此角
的取值范围为
……………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及
得
又因为
,所以

从而
因为
为钝角，故
……………11分

由余弦定理，得

故
……………13分

由正弦定理，得
因此
……………15分

17. （Ⅰ）在
中，
由余弦定理，得

经计算，得
所以
，故

因为
平面
，所以
又因为
，所以
平面
…………4分

又因为
平面
，故平面
平面
. …………… 6分

（Ⅱ）方法1 取
的中点
，连结

因为
,所以
又因为平面
平面
，

平面
平面
，
平面
,

所以
平面
。 过
作
于
,连
,则

于是
是二面角
的平面角，

因此，
…………… 10分

又
,所以
设
，

由
得
.因此，
。

即
解得

所以
…………… 15分

方法2 建立如图的空间直角坐标系。

则
，
.

设
则

所以

平面
的法向量为

设
为平面
的法向量，则

可取
…………… 10分

因为
，得

即
解得
所以
…………… 15分

18．（Ⅰ）因为焦距为
，所以
…………… 2分

由椭圆的对称性及已知得
又因为
所以
因此
…………… 4分

于是
因此椭圆
的方程为
…………… 6分

（Ⅱ）设
，则

直线
的方程为
，令
，得

故
同理可得
…………… 9分

所以
，
因此

因为
在椭圆
上，所以
[:.]

故
…………… 12分

所以
…………… 14分

又因为当
时
重合，即
重合，这与条件不符，所以

因此
的取值范围是
…………… 15分

19. （Ⅰ）由
①

得
②

①—②得

即