2015届鄞州区高考数学模拟试题（理）

2015．5

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分， 考试时间120分钟。

参考公式：球的表面积公式：
， 其中R表示球的半径．

球的体积公式：
，其中R表示球的半径．

柱体的体积公式：
， 其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高．

锥体的体积公式：
， 其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高．

台体的体积公式：
，其中
分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高．

选择题部分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若
，则“
成立”是“
成立”的

A.充分非必要条件 　 B.必要非充分条件

C.充要条件 　 D.既非充分又非必要条件

2．已知
为不同的直线，
为不同的平面，则下列说法正确的是

A.
B.

C.
D.

3．设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，设
，则下列结论中正确的是

A．
关于
对称 　　　 B．
关于
对称

C．
关于
对称 D．
关于
对称

4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是

A. 2 B. 4 C. 6 D.

5．已知
，
，
，
，则
的最大值为

A.
B. 2 C.
D.

6．若
，若
的最大值为
，则
的值是

A．
　　 B．
　　C．
　　　　D．

7．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作圆
的切线分别交双曲线的左、右两支于点
、
，且
，则双曲线的离心率为

A.
B．
C．
D．

8．已知定义在
上的函数
满足:①
;②
；

③当
时，
；

则函数
在区间
上的零点个数为

A.5 B.6 C.7 D.8

非选择题部分

二、填空题（本大题共7小题，第9,10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）

9．设全集
,
,
,则
▲ ，
▲ .

10．已知数列
满足
,
，
，

则
▲ ,
▲ .

11．已知函数
则
▲ ,不等式
的解集为 ▲ .

12．如图，在平面四边形
中,
, 则
▲ ；

又若
,则
▲ .

13. 如图，在棱长为1的正四面体
中，平面
与棱

分别交于点
，则四边形
周长的最小值为 ▲ .

14．已知
满足
，
是
的外心，且
，则
的面积是 ▲ ．

15．如图，某商业中心
有通往正东方向和北偏东
方向的两条街道，某公园
位于商业中心北偏东
角
，且与商业中心
的距离为
公里处，现要经过公园
修一条直路分别与两条街道交汇于
两处,当商业中心
到
两处的距离之和最小时，
的距离为 ▲ 公里．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分15分）已知点
是函数
图象的一个对称中心．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）求
在闭区间
上的最大值和最小值及取到最值时的对应
值．

17.（本小题满分15分）已知四边形
中,

,
为
中点，连接
，将
沿
翻折到
,使得二面角
的平面角的大小为
.

（Ⅰ）证明:
；

（Ⅱ）已知二面角
的平面角的余弦值为
，求
的大小及
的长.

18．（本小题满分15分）已知椭圆C：
的离心率为
，左、右焦点分别为
，点
在椭圆C上，且
，
的面积为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）直线
与椭圆
相交于
，
两点．点
，记直线
的斜率分别为
，当
最大时，求直线
的方程．

19.（本小题满分15分）已知数列
中，
（实数
为常数），
，
是其前
项和，且
. 数列
是等比数列，
，
恰为
与
的等比中项.

（Ⅰ）证明：数列
是等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）若
，当
时
，
的前
项和为
，求证：对任意
，都有
．

20.（本小题满分14分）已知函数
，
，且函数
与
的图象至多有一个公共点。

（Ⅰ）证明：当
时，
；

（Ⅱ）若不等式
对题设条件中的
总成立，求
的最小值.

鄞州区2015届高考数学模拟试题（理）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．

二、填空题（9~12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）

9．
,
10．
,
11．
，

12．
，
13．
14．
15．
.

三、解答题

16． (Ⅰ) 由题意得
…………………………………………2分

∵
关于点
对称，所以
;…………………5分

解得
.…………………………………………………………………………………7分

(Ⅱ)
;…………………………………………9分

设
，则
;…………………………………………………………11分

;……………………………………………………………………13分

.………………………………………………………………………15分

17． (Ⅰ)取
中点
,

…………………………………………………………………2分

面
…………………………………………………………………………4分

………………………………………………………………………………6分

(Ⅱ) 建系…………………………8分

，
，

,

设面
法向量
，

则
,

………………………………11分

同理面
法向量

二面角
的平面角的余弦值为
…13分

解得
，
……………………………………………………………15分

18.(Ⅰ)
……………………………………………………………5分

（Ⅱ）
与
联立解得:

………………………………………………7分

………………………………………………9分

………12分

,当且仅当
时，取得最值。

此时
………………………………………………15分

19.(Ⅰ)解：令
可得
，即
．所以
．…………………2分

时
，可得
，

当
时
，所以
．

显然当
时，满足上式．所以
，
．

∴
，所以数列
是等差数列，其通项公式是
，
．…………………6分

（Ⅱ）设等比数列
的公比为
,所以

∵
恰为
与
的等比中项，∴
，

所以
，解得
，所以
…………………10分

（Ⅲ）
时,

而
时,

所以当
时
。13分

当
时

∴对任意
，都有
………15分

20.(Ⅰ)解：由题意得
恒成立

……………………………………………2分

,

又

又
，
，………………………………………………5分

，

，∴当
时，
…………………………7分

(Ⅱ)由（Ⅰ）得，

当
时，
…………………………9分

令

而函数