长春市普通高中2015届高三质量监测（二）

数 学（理 科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、复数
的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知
函数
在
上是单调函数，
函数
（
且
）在
上是增函数，则
成立是
成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5、若
，
满足约束条件
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

7、已知平面向量
，
满足
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为
、
、
、
，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知函数
，若将其图象向右平移
（
）个单位后所得的图象关于原点对称，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、设
，
，若直线
与圆
相切，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

11、若
是双曲线
（
）的右焦点，过
作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于
，
两点，
为坐标原点，
的面积为
，则该双曲线的离心率
（ ）

A．
B．
C．
D．

12、设数列
的前
项和为
，且
，
为等差数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、
的展开式中常数项为 ．

14、已知
且曲线
、
与
所围成的封闭区域的面积为
，则
．

15、正四面体
的外接球半径为
，过棱
作该球的截面，则截面面积的最小值为 ．

16、已知函数
为偶函数且
，又
，函数
，若
恰好有4个零点，则
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）在
中，
，
．

求角
的值；

设
，求
．

18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．

已知
、
、
三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求
，
的值；

该电子商务平台将年龄在
之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和
的分布列与数学期望．

19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，四边形
满足
，
且
，点
为
中点，点
为
边上的动点，且
．

求证：平面
平面
；

是否存在实数
，使得二面角
的余弦值为
？若存在，试求出实数
的值；若不存在，说明理由．

20、（本小题满分12分）在
中，顶点
，
，
、
分别是
的重心和内心，且
．

求顶点
的轨迹
的方程；

过点
的直线交曲线
于
、
两点，
是直线
上一点，设直线
、
、
的斜率分别为
，
，
，试比较
与
的大小，并加以证明．

21、（本小题满分12分）设函数
，其中
和
是实数，曲线
恒与
轴相切于坐标原点．

求常数
的值；

当
时，关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

求证：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，过点
作圆
的割线
与切线
，
为切点，连接
，
，
的平分线与
，
分别交于点
，
，其中
．

求证：
；

求
的大小．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

试判断曲线
与
是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，
．

当
时，求不等式
的解集；

对任意
恒有
，求实数
的取值范围．

长春市普通高中2015届高三质量监测（二）

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A

简答与提示：

【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.

【试题解析】D 由题意可知
或
，则
，所以
. 故选D.

【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.

【试题解析】A
，所以其共轭复数为
. 故选A.

【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识.

【试题解析】C
. 故选C.

【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题.

【试题解析】C　由
成立，则
，由
成立，则
，所以
成立时
是
的充要条件.故选C.

【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.

【试题解析】D 由题意可知，
在
处取得最小值，在
处取得最大值，即
.故选D.

【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.

【试题解析】D　该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为
. 故选D.

【命题意图】本题考查向量模的运算.

【试题解析】B　
. 故选B.

【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.

【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.

【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.

【试题解析】C 由题意
，将其图像向右平移

个单位后解析式为
，则
，即