启东中学2015届高三第二学期期初调研测试

文科数学试题

注　意　事　项

1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．

3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．

4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c ＝ ▲ ．

2．由命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a ＝ ▲ ．

3．底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.

4．圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ▲ ．

5．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为 ▲ .

6．设常数
使方程
在闭区间
上恰有三个解
，则
▲ ．

7． 已知函数
，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数

k的取值范围是 ▲ .

8．已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：
，则
的形状是 ▲ ．

9．设
均为正实数，且
，则
的最小值为 ▲ ．

10．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.

类比到空间中的一个正确命题是：在长方

体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所

成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．

11．已知点
是椭圆

上的一点，

是椭圆的两个焦点，若
的内切圆的半

径为
，则此椭圆的离心率为 ▲ ．

12．若函数
不存在零点，则实数
的取值范围是 ▲ ．

13．函数
在区间
上存在极值点，则实数
的取值范围为 ▲ ．

14．设定义域为
的单调函数
，对任意
，都有
，若
是方程
的一个解，且
，则实数
= ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分为14分）已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

16．（本小题满分为14分）已知函数
，点
分别是函数

图象上的最高点和最低点．

（1）求点
的坐标以及
的值；

（2）设点
分别在角
的终边上，求
的值．

17．（本小题满分为14分）

如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCD；

(2)在图2中，若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．

18．（本小题满分为16分）

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：

，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

19．（本小题满分为16分）

设A，B分别为椭圆

的左、右顶点，椭圆的长轴长为
，且

点
在该椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设
为直线
上不同于点
的任意一点，若直线
与椭圆相交于异于
的点
，证明：△
为钝角三角形．

20．（本小题满分为16分）

已知函数
．

（1）若
，求函数
的极值，并指出极大值还是极小值；

（2）若
，求函数
在
上的最值；

（3）若
，求证：在区间
上，函数
的图象在
的图象下方．

2015届高三寒假作业测试答案

数学（Ⅰ）试题

1．答案：4；由log2x≤2，得04，即c＝4；

2. 答案：1；由题意得命题“
x∈ R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.

3. 答案：3；由条件得斜高为
(m)．从而全面积S＝×22＋3××2×＝3 (m2)．

4. 答案：-4；圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4.

7. 答案：(0,1)，解析　画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象

可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象

与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1).

8. 答案：等腰三角形；

，
，

由
，即
，由四边形垂直平分可得
的是等腰三角形．

9.答案：16；法一；由
化为
，因
均为正实数，故
；法二：由于
和
都是对称式，故令x=y=4．

10.答案：2；设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC，记为α，所以cos2α＝＝，同理cos2 β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β

＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2

11. 答案：
；一方面
的面积为
；另一方面
的面积为
，
，∴
，∴
，∴
，又
∴
，∴椭圆的离心率为
.

12. 答案：
；由题意可知
，解得
且
，由对数的性质可得

，可得

由于
或
或
，

要使函数
不存在零点，只需
取
取值集合的补集，

即
，当
时，函数无意义，故k的取值范围应为：

13. 答案：
；函数
的导数为
，令
，则
或
，当
时
单调递减，当
和
时
单调递增
和
是函数的极值点，因为函数
在区间
上存在极值点，所以
或
或
，

14. 答案：1；对任意的
，都有
，又由
是定义在
上的单调函数，则
为定值，设
，则
，又由
，可得
，可解得
，故
，又
是方程
的一个解，所以
是函数
的零点，分析易得
，故函数
的零点介于
之间，故
，故答案为：

二、解答题：

15. 解　(1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，-------------------------2分

即＝0，解得b＝1. ---------------------------------------------------------4分

从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2----6分

经检验适合题意，∴a＝2，b＝1.-------------------------------------------------------7分

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，

从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分

因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.------------------------------------------------------------12分

从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－---------------------------------------------------14分

16. 解：（1）∵
--------3分

当
即
时，
取得最大值
，

当
即
时，
取得最小值

因此，所求的坐标为
--------------------------------------------------5分

则
----------------------------------------7分

（2）∵点
分别在角
的终边上，

则
-------------------------------------------------10分

则

---------------------------------------------12分

--------------------------------------14分

18. 解　(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，

则S＝200x－
＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2，

所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分

当x＝300时，S取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分

所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分

(2)由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为

-------------------------------------------9分

①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，

所以当x＝120时，取得最小值240.-------------------------------------------------12分

②当x∈[144,500]时，＝x＋－200≥2 －200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.因为200<240，------15分

答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.----------16分

20. 解：（1）
的定义域是

当
时
在
上递减；-------------------------------2分

当
时
在
上递增，

的极小值是
，无极大值．------------------------------------------4分

（2）
恒成立对
，

在
上递增，------------------------------------------------------------------6分

--------------------------------10分

（3）证明：令

在
上恒成立，

在区间
上递减，-----------------------------------------------------------12分

-----------------------------------------------------------15分

在区间
上，函数
的图象在
的图象下方--------------16分

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