江门市2015年高考模拟考试

数学（理科） 2015.3

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

如果事件
、
互斥，那么
．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式，
，
．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．
是虚数单位，

A．
B．
C．
D．

2．函数
的定义域为实数集
，“
是奇函数”是“
是偶函数”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件 D．充要条件

3．
是等差数列，
与
的等差中项为1，
与
的等差中项为2，则公差

A．
B．
C．
D．

4．函数
在区间
上单调递增，常数
的值可能是

A．
B．
C．
D．

5．双曲线
：
的两条渐近线夹角（锐角）为
，则

A．
B．
C．
D．

6．一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、

侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰

直角三角形，则它的体积

A．
B．
C．
D．

7．
的二项展开式17个项中，整式的个数是

A．
B．
C．
D．

8．设
，集合
，
，记“从集合
中任取一个元素
，
”为事件
，“从集合
中任取一个元素
，
”为事件
．给定下列三个命题：

①当
，
时，
；

②若
，则
，
；

③
恒成立．

其中，为真命题的是

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分．

(一)必做题（9～13题）

9．不等式
的解集为 ．

10．已知抛物线
：
的焦点为
，
是
上一点，

若
在第一象限，
，则点
的坐标为 ．

11．若变量
、
满足约束条件
，则

的最大值
．

12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果
．

13．已知
与
之间的几组数据如下表：

3

4

5

6





2.5

3

4

4.5



假设根据上表数据所得线性回归方程为
，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为
，则
，
．（填“
”或“
”）

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
上到直线
的距离为1的点的个数是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆
的弦
、
相交于

点
，若
，
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知
顶点的直角坐标分别是
、
、
．

⑴求
的值；

⑵若
，证明：
、
、
三点共线．

17．（本小题满分13分）

某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：
），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：

组 距

频 数

频 率



[100，102)

17

0.17



[102，104)

18

0.18



[104，106)

24

0.24



[106，108)







[108，110)

6

0.06



[110，112)

3

0.03



合计

100

1



⑴求上表中
、
的值；

⑵估计该基地榕树树苗平均高度；

⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有
株，求
的分布列和期望．

18．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和
，
．

⑴求
的值；

⑵求数列
的通项公式；

⑶证明：对一切正整数
，有
．

19．（本小题满分13分）

如图4，直四棱柱
的底面是菱形，侧面是正方形，
，
是棱
的延长线上一点，经过点
、
、
的平面交棱
于点
，
．

⑴求证：平面
平面
；

⑵求二面角
的平面角的余弦值．

20．（本小题满分14分）

平面直角坐标系
中，椭圆
：
（
）的离心率为
，焦点为
、
，直线
：
经过焦点
，并与
相交于
、
两点．

⑴求
的方程；

⑵在
上是否存在
、
两点，满足
，
？若存在，求直线
的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数
，
是自然对数的底数，
，
为常数．

⑴若
在
处的切线
的斜率为
，求
的值；

⑵在⑴的条件下，证明切线
与曲线
在区间
至少有1个公共点；

⑶若
是
的一个单调区间，求
的取值范围．

评分参考

一、选择题 BACD DCBB

二、填空题 ⒐
或
（每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）

⒑
（若写成
或
给3分，其他不给分）

⒒
⒓
⒔
，
（若两空一对一错，给3分） ⒕
⒖

三、解答题

⒗⑴（方法一）
，
，
……3分

……6分（公式2分）

（方法二）
，
……2分

……6分（公式2分）

⑵（方法一）
，
……9分

∵
，∴
、
共线……11分

∵
、
有共同的始点，∴
、
、
三点共线……12分

（方法二）经过
、
两点的直线
的方程为

（即
）……9分

设
，由
得
……10分

解得
……11分

∵
（或
），∴(
在
上)
、
、
三点共线……12分

⒘⑴
，
……2分

⑵估计该基地榕树树苗平均高度为

(
)……6分

（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）

⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此
的所有可能取值为0，1，2，3……7分

，
，

，

……11分

0

1

2

3
















的分布列为

……12分

的期望为
……13分（列式正确1分）

⒙⑴
……1分

⑵
时，

……4分（上式每个等号1分）

时，
，所以
，
……5分

⑶由⑵知，
时，
……7分

……9分

……11分

……12分，
……13分

∵
单调递增，∴
，
……14分

⒚⑴设四棱柱
的棱长为

∵
，
∽
，∴
……1分

由
，
，得
，
……2分

∵
，∴
，
……3分

是直四棱柱，
，又
，∴
，∵
，∴
平面
……4分

∵
平面
，∴平面
平面
……5分

⑵（方法一）过
作
于
，
于
，连接
……6分

由平面
平面
，平面
平面
，

平面
……7分

∴
，又
，
，∴
平面
，
，