江门市2015年高考模拟考试

数学（文科）2015.3

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

如果事件
、
互斥，那么
．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合
，
，

A．
B．
C．
D．

2．
是虚数单位，

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中，奇函数是

A．
B．
C．
D．

4．已知向量
，
，若
，则

A．
B．
C．
D．

5．如图1，四棱柱
中，
、
分

别是
、
的中点．下列结论中，正确的是

A．
B．
平面

C．
D．
平面

6．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是

A．
B．
C．
D．

7．若变量
、
满足约束条件
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8．将函数
的图象向右平移
（
）个单位长度，得到的曲线经过原点，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

9．下列命题中，错误的是

A．在
中，
是
的充要条件；

B．在锐角
中，不等式
恒成立；

C．在
中，若
，则
必是等腰直角三角形；

D．在
中，若
，
，则
必是等边三角形．

10．设
，
都是定义在实数集上的函数，定义函数
：
，

．若
，
，则

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

(一)必做题（11～13题）

11．命题“若
、
都是偶数，则
是偶数”的逆命题是 ．

12．数列
满足
，
，
，则
．

13．某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是 ；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是 （第二个空填“甲”或“乙”）．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，曲线
的方程是
，
的参数方程是
（
为参数），则
与
交点的直角坐标是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图2，⊙
的两条割线

与⊙
交于
、
、
、
，圆心
在
上，

若
，
，
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
，
，
是常数．

⑴求
的值；

⑵若
，
，求
．

17．（本小题满分13分）

从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为
，
，
，
，
．

⑴求图3中
的值；

⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果
；

⑶从质量指标值分布在
、
的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．

18．（本小题满分14分）

如图5，直角梯形
，
，
，
，点
为
的中点，将
沿
折起，使折起后的平面
与平面
垂直（如图6）．在图6所示的几何体
中：

⑴求证：
平面
；

⑵点
在棱
上，且满足
平面
，求几何体
的体积．

19．（本小题满分13分）

已知
是公差为
的等差数列，
，
与
的等差中项为
．

⑴求
与
的值；

⑵设
，求数列
的前
项和
．

20．（本小题满分14分）

设A是圆
上的任意一点，
是过点A与
轴垂直的直线，D是直线
与
轴的交点，点M在直线
上，且满足
．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线
．

⑴求曲线
的标准方程；

⑵设曲线
的左右焦点分别为
、
，经过
的直线
与曲线
交于P、Q两点，若
，求直线
的方程．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（
是常数），曲线
在点
处的切线在
轴上的截距为
．

⑴求
的值；

⑵
，讨论直线
与曲线
的公共点的个数．

评分参考

一、选择题 BADCB CDDCA

二、填空题 ⒒若
是偶数，则
、
都是偶数（对1句3分；表达有误适当扣分）

⒓
⒔
，甲（若两空一对一错，给3分）

⒕
（若坐标符号错误给2分，其他不给分） ⒖

三、解答题

⒗⑴
……3分（振幅1分，辅助角2分）

由
的最小正周期
……4分，得
……5分

⑵由⑴知

……8分（前3个等号每个1分），
……9分

∵
，∴
……10分

……12分（公式1分，代入求值1分）

⒘⑴依题意，
……2分

解得
……3分

⑵
，
，
，
，
……6分（
、
、
各1分）

输出的
……8分（列式、结果各1分）

⑶记质量指标在
的4件产品为
，
，
，
，质量指标在
的1件产品为
，则从5件产品中任取2件产品的结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10种……10分

记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：
，
，
，
共4种……11分

∴
……12分

答：从质量指标……，……的概率为
……13分

⒙⑴
……1分，
，
，

……3分（其他方法求值也参照给分）

∵
，∴
（
）……4分

∵平面
平面
，平面
平面
，

∴
平面
……6分

⑵∵
平面
，
平面
，平面
平面
，

∴
……8分

∵点
为
的中点，∴
为
的中位线……9分

由⑴知，几何体
的体积
……11分

……13分，

……14分

⒚⑴依题意，
……1分

（方法一）由
与
的等差中项为
得
……2分

即
……3分

……5分，解得
，
……6分

（方法二）由
与
的等差中项为
得，
与
的等差中项为
，
与
的等差中项为
……3分

……5分，解得
，
……6分

⑵由⑴得
，
……7分

（方法一）记
，则

……8分

两式相减得，
……10分

……11分

数列
的前
项和
……12分

∴
……13分

（方法二）

……9分，两式相减得

……11分

……13分

⒛⑴设
是曲线
上任意一点，则
……1分，

对应圆上的点为
，由
得
……2分

……3分，依题意，
，
……4分

曲线
的标准方程为
……5分

⑵由⑴得
，
，
……6分

①若
为直线
，代入
得
，即