2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）

数 学（理 科 类）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、复数
（
为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、下列四个命题中真命题的个数是（ ）

①“
”是“
”的充分不必要条件

②命题“
，
”的否定是“
，
”

③“若
，则
”的逆命题为真命题

④命题

，
，命题

，
，则
为真命题

A．
B．
C．
D．

4、执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．
B．

C．
D．

5、将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
，则
具有性质（ ）

A．最大值为
，图象关于直线
对称 B．在
上单调递增，为奇函数

C．在
上单调递增，为偶函数 D．周期为
，图象关于点
对称

6、等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7、某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为
的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

8、已知抛物线
（
）与椭圆
（
）有相同的焦点
，点
是两曲线的一个公共点，且

轴，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知
，
平面
，若
，则四面体
的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则
的最大值是（ ）

A．
B．

C．
D．

11、若
是
的重心，
，
，
分别是角
，
，
的对边，若
，则角
（ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知数列
中，
，
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、设随机变量
服从正态分布
，若
，则
．

14、设
，则
的展开式中常数项为 ．

15、在直角梯形
中，
，
，
，
，梯形所在平面内一点
满足
，则
．

16、已知函数
，则满足
的实数
的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，
．

求角
；

若
，求
的面积．

18、（本小题满分12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达
亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为
．

确定
，
，
，
的值，并补全频率分布直方图；

为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．

①请将列联表补充完整；

网龄3年以上

网龄不足3年

合计



购物金额在2000元以上

35







购物金额在2000元以下



20





合计





100



②并据此列联表判断，是否有
%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？

参考数据：



































（参考公式：
，其中
）

19、（本小题满分12分）已知四棱锥
，侧面
底面
，侧面
为等边三角形，底面
为菱形，且
．

求证：
；

求平面
与平面
所成的角（锐角）的余弦值．

20、（本小题满分12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点
在
轴正半轴上，过点
的直线交抛物线于
，
两点，线段
的长是
，
的中点到
轴的距离是
．

求抛物线的标准方程；

在抛物线上是否存在不与原点重合的点
，使得过点
的直线交抛物线于另一点
，满足
，且直线
与抛物线在点
处的切线垂直？并请说明理由．

21、（本小题满分12分）已知函数
（
）．

讨论
的单调性；

若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围（
为自然常数）；

求证
（
，
）．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
，
，
为
上的三个点，
是
的平分线，交
于点
，过
作
的切线交
的延长线于点
．

证明：
平分
；

证明：
．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆锥曲线
的参数方程为
（
为参数），定点
，
、
是圆锥曲线
的左、右焦点．

以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点
且平行于直线
的直线
的极坐标方程；

设
中直线
与圆锥曲线
交于
，
两点，求
．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，
．

当
时，解不等式
；

画出函数
的图象，根据图象求使
恒成立的实数
的取值范围．

2015年数学科模拟试题答案（理科）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

D

B

B

D

C

B

C

A

D

C





13. 2 14.
15. -1 16.

17.(1)解：

……………………2分

……………………4分

（2）

……………………6分

……………………8分

……………………10分

……………………12分

18.答案：⑴因为网购金额在2000元以上的频率为
，

所以网购金额在2000元以上的人数为100
=40

所以
，

所以
，…………………