1．设集合
，
，则（ A ）

A.
B．
C．
D．

【解析】∵
，∴
，∵
，∴
，∴
.

2．复数
等于（ C ）

A． B．
C． D．

【解析】

3．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有

入选的不同选法的种数为( C )

A．85 B．56 C．49 D．28 【解析】丙没有入选共
种,其中甲乙都没有入选有
种,故共
种.

4. 已知命题
命题
则下列命题中为真

命题的是( B )

A.
B.
C.
D.

【解析】考察函数图象可知: 命题
为假命题，命题

为真命题，所以
为真命题.

5. 设随机变量
服从正态分布
，若
，则实数等于( A )

A．
B．
C．5 D．3

【解析】由正态曲线的对称性知
,
.

6．
中，“角
成等差数列”是“
”的（ A ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】

; 角
成等差数列
.

7．图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如

A2表示身高在
内的人数）。图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算

法流程图。现要统计身高在
内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的

条件及输出的
值分别是（ C ）

A．

B．

C．

D．

【解析】身高在

内的学生人数为

450+550+500+350=1850,

共四组.

8.已知函数
为自然对数的底数)与
的图象上存在关于

轴对称的点，则实数的取值范围是（ B ）

A．
B．
C．
D．

【解析】已知即为方程
在
上有解.

设
，求导得：

，
在
有唯一的极值点

，且知

故方程
在
上有解等价于
.

从而的取值范围为
.

10．已知
都是定义在上的函数，
，
，且

，且
，
．若数列
的前项和大于
，则的最小值

为（　A 　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】∵
，∴
，∵
，

∴
，即
，∴
，

∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，

∴数列
为等比数列，∴
，∴
，即
，

所以的最小值为6，

二、选择题（每小题5分，共7小题，满分35分）

11. 设二项式
的展开式中常数项为，则＝ ．

【答案】
．

【解析】由二项式定理可知,展开式的第
项为
，令
，则
，∴
．

12.记集合
和集合
表示的平面区域分别为
，若在区域
内任取一点
，则点
落在区域
的概率为 .

【答案】

【解析】
为圆心在原点，半径为4的圆面．
是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域
内任取一点
，则由几何概型可知点M落在区域
的概率为
.

13. 已知点
是锐角
的外心，
. 若
，

则

【答案】

【解析】如图，
点在
上的射影是点
，它们分别为
的中点，由数量积的几何意义，可得

，

依题意有:

，即
，

，即

将两式相加可得：
.

14.设
，则函数
的最大值为 .

【答案】

【解析】因为
，
，

函数
，

当且仅当
等号成立. 故最大值为
．

15. 已知函数
是
上的增函数.当实数取最大值时，若存在点
，使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点
的坐标为 .

【答案】

【解析】由
得
.

是
上的增函数，

在
上恒成立，即
在
上恒成立。设
，
，即不等式
在
上恒成立.

设
，
因为
，所以函数
在
上单调递增，因此
。
，即
。又
，故
。的最大值为3. 故得
，
。将函数
的图像向上平移3个长度单位，所得图像相应的函数解析式为
，
。

由于
，所以
为奇函数，故
的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得函数
的图像关于点
成中心对称。这表明存在点
，使得过点
的直线若能与函数
的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。

三、解答题（本大题共6小题, 满分75分）

16、(本题满分12分)

已知
,其中
,
,
.

（1）求
的单调递减区间；

（2）在
中,角
所对的边分别为
,
,
, 且向量
与
共线，求边长
和的值.

【解析】(1) 由题意知
.

3分

在
上单调递减，

令
，得

的单调递减区间
6分

(2)
，
,又
，
即
8分

，由余弦定理得
=7. 10分

因为向量
与
共线，所以
，由正弦定理得
.
. 12 分

17、(本题满分12分)

衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核,因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
、
、
，他们考核所得的等次相互独立．

（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；

（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量
，求随机变量
的分布列及数学期望．

【解析】（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件
，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件. …………2分

则
. …………5分

（2）由题意，得
的可能取值是3，4，5，6. …………6分

因为
，

，

，

，

所以
的分布列为：

 3

 4

 5

 6















 …………10分

＝3×
＋4×
＋5×
＋6×
＝
.

…………12分

18、(本题满分12分)

如图,
的外接圆
的半径为
,
所在的平面,
,
,

, 且
,
.

（1）求证: 平面ADC平面BCDE.

（2）试问线段DE上是否存在点M, 使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为
？若存在,

确定点M的位置, 若不存在, 请说明理由.

【解析】（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB ………………1分

∵BE=1,
∴
，

从而
…………2分

∵⊙的半径为
，∴AB是直径，

∴AC⊥BC ………………3分

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE ………………6分

（2）方法1：

假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF

∵平面ADC平面BCDE，

∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 ……9分

设MN=x，计算易得，DN=
，MF=
………………10分

故

解得：
（舍去）
，…11分

故
，从而满足条件的点
存在，且
……………………12分

方法2：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则
…………………………………9分

易知平面ABC的法向量为
，假设M点存在，设
，则
， 再设

，

即
，从而
…10分

设直线BM与平面ABD所成的角为
，则：

…11分

解得
， 其中
应舍去，而
故满足条件的点M存在，且点M的坐标为
…………12分

19、(本题满分13分)

某旅游景区的观景台P位于高为
的山峰上(即山顶到山脚水平面M的垂直高度
)，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且
为以
为底边的等腰三角形. 山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为
，且
. 现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段, 第二段, 第三段, …, 第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如图所示)，C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为
，且
.

（1）问每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米? 若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少
？

（2）若修建
盘山公路，其造价为
万元. 修建索道的造价为
万元
. 问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少?

20、(本题满分13分)

已知数列
满足
.

（1）当
时，求数列
的前项和
；

（2）若对任意
都有
成立，求
的取值范围.

【解析】（1）由
得
,两式相减，得
.

故数列
是首项为
，公差为4的等差数列．数列
是首项为
，公差为4的等差数列，

由
所以
3分

①当

5分

②当为偶数时，

7分

（2）由（1）知，

①当为奇数时，

由
令

解得
10分

②当为偶数时，

由
令

解得

综上，
的取值范围是
13分

21. （本小题满分13分)

已知为正实数，为自然数，抛物线
与轴正半轴相交于点，设
为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.

（1）用和表示
；

（2）求对所有都有
成立的的最小值；

（3）当
时，比较
与
的大小，并说明理由.

【解析】（1）由已知得交点的坐标为
，对
求导得
，

则抛物线在点处的切线方程为
，即
，

则
…3分

（2）由（1）知
，则
成立的充要条件是
.

已知即
对所有成立，特别地，取
得到
.

当
，
时，

当
时，显然
.

故
时，
对所有自然数都成立.

所以满足条件的的最小值为
……………………..8分

（3）由（1）知
，则

下面证明：

首先证明：当
时，

设函数
, 则
.

当
时，
；当
时，
,故
的最小值
.

所以，当
时，
，即得
,

由
知
，因此
，从而

…………………………………13分