甘肃省肃南县第一中学2014-2015年秋学期期末考试数学（理）试卷

第Ⅰ卷 (选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．若

，则
中元素个数为（ ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知向量
,

,
,若
为实数，
，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任
禽流感防御宣传工作,则在选出的宣传者中男、女都有的概率为（ ）．

A.
B.
C.
D.

4．已知向量
、满足
，
，
，则
（ ）

A.
B.3 C.
D.

5．按照下图的程序图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（ ）

A．6 B．21 C．5050 D．231

6．已知三条不重合的直线
和两个不重合的平面
，下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则

B．若
，
，且
，则

C．若
，
，则

D．若
，
，且
，则

7．已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式

的展开式中含
项的系数是（ ）．

A．192 B．32 C．96 D．-192

8．曲线
在点
处的切线为
，则直线
上的任意点P与圆
上的任意点Q之间的最近距离是（ ）

A．
B．
C．
D．2

9．实数x,y满足
，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为( )

(A).2 (B).3 (C).
(D).4

10．已知函数
的图象如图所示，则函数
的大致图象是( )

A B C D

11．记椭圆
围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则
Mn=（　　）

A． 0 B． C． 2 D． 2

12．设
，
是双曲线
的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点，使
（
为原点）且
，则双曲线的离心率为（ ）．

A．
　　　　B．
　　　　 C．
　　　　 D．

第Ⅱ卷 (非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)

13．在
中，角、、的对边分别是、、，若
，
，
，则角的大小为 .

14.若曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为
,则
________.

15．已知
，经计算得
，
，
，

，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 .

16.下列结论中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.

①积分
的值为2；②若
，则
与
的夹角为钝角；③若
，则不等式
成立的概率是
；④函数
的最小值为2．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分12分）

设
的内角、、
的对边分别为、
、，且满足
．

（1）求角的大小；

（2）若
，求
面积的最大值．

18．(本小题满分12分）由某种设备的使用年限
（年）与所支出的维修费
（万元）的数据资料算得如下结果，
，
，
，
.

（1）求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程
；

（2）①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.

（附：在线性回归方程
中，）
，
，其中
，
为样本平均值.)

19．(本小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

20．(本小题满分12分）已知函数
。

（Ⅰ）若
,求函数
的单调区间并比较
与
的大小关系

（Ⅱ）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的
，函数
在区间
上总不是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：
。

21．(本小题满分12分）已知椭圆：
的左、右焦点分别为
、
，椭圆上的点满足
，且△
的面积为
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点
的动直线与椭圆相交于
、两点，直线
与直线
的交点为，证明：点总在直线
上.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC.



（Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；

（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为
为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
．

（1）求圆
的直角坐标方程；

（2）若
是直线与圆面≤
的公共点，求
的取值范围．

24． (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知实数
，且
，若
恒成立.

（1）求实数m的最小值；

（2）若
对任意的
恒成立，求实数x的取值范围.

高三数学（理）参考答案

1-12BAABD DDAAD DC

13.
14.
15．

16. ①③

17．（1）
（2）

【解析】

（1）根据正弦定理将边的问题转化为角的问题，再利用两角和公式，也可利用余弦定理将角化为边的关系求解；（2）根据余弦定理求边的关系，再利用面积公式.

试题解析：（1）∵
，所以
，

∵
，∴
．

∴
．∴
．

在△
中，
． ∴
，
．

（2）∵
，
． ∴

∴
，当且仅当
时取“=” ， ∴三角形的面积
．

∴三角形面积的最大值为
．

18．（1）
；（2）变量与之间是正相关，
万元.

19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）证明线面平行常用以下两种方法:一是用线面平行的判定定理,二是用面面平行的性质.本题用这两种方法都行；

（Ⅱ）首先应考虑作出平面
截三棱柱所得的截面.作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为
.

本题也可用向量解决.

试题解析：（Ⅰ）法一:连结
，交
于
，连结
，则
，从而
平面
.

法二:取
的中点
,连结
,易得平面

,从而
平面
.

（Ⅱ）
的中点
,连结
、
,易得平面
就是平面
,

又
平面
,所以
,所以
就是该二面角的平面角.

.

20.【答案】（I）
的单调增区间为
；减区间为
,
.

（II）
.

（III）证明见解析.

21.解析：（Ⅰ）由题意知：， 1分

椭圆上的点满足，且，

．

，．

2分

又 3分

椭圆
的方程为． 4分

（Ⅱ）由题意知、，

（1）当直线与轴垂直时，、，则的方程是：，

的方程是：，直线与直线的交点为，

∴点在直线上. 6分

（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，、，

由得

∴， 7分

，，共线，∴ 8分

又，，需证明共线，

需证明，只需证明

若，显然成立，若， 即证明

∵

成立， 11分

∴共线，即点总在直线上. 12分

22．


（I）证得∽

∴

根据
，得到
。

（II）
。

23．（1）
；（2）

24．（1）3；（2）
或
.