1．已知集合
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．
是直线
和直线
垂直的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．执行下面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 ( )

A．120 B．720 C．1440 D．5040

4．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．等差数列
中
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6.下面四个命题中真命题的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在回归直线方程
＝0.4x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；

④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.

A.①④ B.②④ C.①③ D.②③

7.若
则
=（ ）

A. 1 B. 3 C.
D.

8.若函数
存在极值，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.给出下列命题,其中正确命题的个数为：（ ）

①在区间
上，函数
，
，
，
中有三个增函数；

②若
，则
；

③若函数
是奇函数，则
的图象关于点
对称；

④若函数
，则方程
有两个实数根.

A.1 B.2 C.3 D.4

14．随机向边长为5， 5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________。

15．若函数f（x）为定义域D上的单调函数,且存在区间
（其中a

三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数
sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）将函数
图像向右平移
个单位得到函数
的图像，若
，且
，求
的值．

17．（本小题满分12分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：

分组

频数

频率



[45，60）

2

0．04



[60，75）

4

0．08



[75，90）

8

0．16



[90，105）

11

0．22



[105，120）

15

0．30



[120，135）

a

b



[135，150]

4

0．08



合计

50

1



（1）写出a、b的值；

（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；

（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．

18.（本小题满分12分）如图一，
是正三角形，
是等腰直角三角形，
.将
沿
折起，使得
与
成直二面角
，

如图二，在二面角
中

（1）求证：
；

（2）求、
之间的距离；

（3）求
与面
所成的角的正弦值。

19．（本小题满分13分）已知圆C的方程为：

（1）求的取值范围；

（2）若圆C与直线
交于M、N两点，且
，求的值.

（3）设直线
与圆
交于，两点，是否存在实数，使得以
为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比
，前n项和为Sn，S3＝7，且
，
，
成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，
，其中
N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）设
，
，
，求集合C中所有元素之和．

21．（本小题满分13分）若存在实常数
和
，使得函数
和
对其定义域上的任意实数分别满足：
和
，则称直线
为
和
的“隔离直线”．已知
，
为自然对数的底数）．

（1）求
的极值；

（2）函数
和
是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

衡阳市八中2015届高三第六次月考文科数学参考答案

一选择题：

1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B

二填空题：

11.
12.
13. 14.
15.

三解答题：

17.（1）6、0.12 2分

（2）成绩在120分以上的有6＋4＝10人，

所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有： 人. 6分

（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．

法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．

其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为. 12分

（法二：乙可能和甲或和A分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为）

18:⑴面
面
，面
面
，
面
，

面
，又
面

………4分

⑵
面
，
面

在
中，
，

…………8分

⑶取
的中点
，连结
、
和

是正三角形

，又面
面

面
，即
是
在面
内的射影

则
为直线
与面
所成的角 …………10分

，

故直线
与面
所成的角的正弦值为
. …………12分

19解 ：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5． 3分

（2）
，即
，

所以圆心C（1,2），半径
， 4分

圆心C（1,2）到直线
的距离
5分

又
，
，即
，
． 6分

（3）假设存在实数使得以
为直径的圆过原点，则
，设
，则
， 7分

由
得
， 8分

，即
，又由（1）知
，

故
9分

10分

11分

12分

故存在实数使得以
为直径的圆过原点，
． 13分

20.（1）∵
，∴
①

∵
，
，
成等差数列，∴
② 2分

②－①得，
即
③

又由①得，
④

消去
得，
，解得
或
（舍去）

∴
4分

21．（1）

，

．

当
时，
． ------3分

当
时，
，此时函数
递减；

当
时，
，此时函数
递增；

∴当
时，
取极小值，其极小值为
．

（2）解：由（1）可知函数
和
的图象在
处有公共点，因此若存在
和
的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为
，则直线方程为
，即
．

由
，可得
当
时恒成立．

， 由
，得
．

下面证明
当
时恒成立．

令

，则

， 当
时，
．

当
时，
，此时函数
递增；

当
时，
，此时函数
递减；

∴当
时，
取极大值，其极大值为
．

从而
，即
恒成立

∴函数
和
存在唯一的隔离直线
．