2015年温州市高三第一次适应性测试

数学（理科）试题（2015.2）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh 其中S表示柱体的底面积， h表示柱体的高

锥体的体积公式：V=
Sh 其中S表示锥体的底面积， h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1， S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高

球的表面积公式S=4πR2 球的体积公式V=
πR3 其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合P={x|y=
+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q= （ ）

A.( B.[0，+∞) C.(0，+∞) D.[1，+∞)

2. 已知直线l: y=x与圆C: (x－a)2+y2=1，则“a=
”是“直线l与圆C相切”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3. 已知sinx+
cosx=
，则cos(
－x)= （ ）

A.－
B.
C.－
D.

4. 下列命题正确的是 （ ）

A.垂直于同一直线的两条直线互相平行

B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形

C. 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形

D. 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形

5. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在
上是单调函数，则ω应满足的条件是 （ ）

A.0<ω≤1 B. ω≥1 C. 0<ω≤1或ω=3 D. 0<ω≤3

6. 设F是双曲线
的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q（在第一象限内），使得
，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）

A.(1，3) B.(3，+∞) C.(1，2) D. (2，+∞)

7. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为
，若空间有一条直线l与

直线CC1所成的角为
，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

8. 过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到

另一个部分上。则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 （ ）

A.2 B.2(3－
) C. 4(2－
) D. 4(3－2
)

非选择题部分（共110分）

二、 填空题 ：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分。

9. 设函数f(x)=
，则f(－2)= ；

使f(a)<0的实数a的取值范围是 .

10.设{an}为等差数列，Sn为它的前n项和

若a1－2a2=2，a3－2a4=6，则a2－2a3= ，S7= .

11.如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，

俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形。

则该几何体的体积等于 cm3，它的表面积等于 cm2.



（第11题图）



12. 抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，P为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP中点M的

轨迹方程为

13. 已知a，b∈R，若a2+b2－ab=2，则ab的取值范围是

14. 设实数x，y 满足不等式组
，若|ax－y|的最小值为0，则实数a的最小值与最大值

的和等于 .

15. 设
，∠AOB=60°，
，且λ+(＝2，则
在
上的投影

的取值范围是 .

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b=2，c=4，

sinA=2sinB.

(Ⅰ) 求△ABC的面积；

(Ⅱ) 求sin(2A－B)．

17．（本题满分15分）如图，在四面休ABCD中，

已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，

(Ⅰ) 求证：AC⊥BD；

(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=
，

求二面角C－AD－B的余弦值。



（第17题图）





18. （本题满分15分）已知椭圆C: 的下顶点为B(0，－1)，B到焦点的距离为2.

(Ⅰ)设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；

(Ⅱ)直线l过定点P(0，2)与椭圆C交于两点M，N，若△BMN的面积为
，求直线l的方程。

19．（本题满分15分）对于任意的n∈N*，数列{an}满足
.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ) 求证：对于n≥2，

20．（本题满分14分）已知函数f(x)=
，其中k，b为实数且k≠0.

（I）当k>0时，根据定义证明f(x)在(－∞，－2)单调递增；

（II）求集合Mk={b|函数f(x)有三个不同的零点}.

2015年温州市高三第一次适应性测试

数学（理科）试题参考答案 2015.2

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

B

D

C

A

C

D



二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.

9．
；
． 10．
；
． 11．
；
．

12．
；
． 13．
． 14．
．　　　15．
．

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题15分）解法一：（I）由

．…………………1分

又∵
，∴
． ………………………………………………2分

． …………………………………4分

．……………………………………5分

∴
．………………………………7分

（II）
．……………………………9分

． ………………………………10分

．………………………………11分

．………………………………………………13分

∴
…………………………………14分

．…………………………………………15分

解法二：（I）由

． …………………………………1分

又∵
，∴
． ……………………………………………2分

又
，可知△
为等腰三角形． ………………………………………3分

作
于
，则
． …………5分

∴
．……………………………7分

（II）
．…………………………9分

．…………………………………10分

由（I）知
．……………………………………11分

∴
………………………………………13分

………………………………………………………………14分

． ……………………………………………………15分

17．（本题15分）（I）证明（方法一）：∵
，
，
．

∴
． ∴
．………………………2分

取
的中点
，连结
，则
，
．

………………………………………………………………3分

又∵
， ……………………………………4分

平面
，
平面
，

∴
平面
， ……………………………………5分

∴
………………………………………………6分

（方法二）：过
作
⊥
于点
．连接
．…1分

∵
，
，
．

∴
．∴
⊥
．…………………3分

又∵
，……………………………………4分

平面
，
平面
，

∴
⊥平面
．……………………………………5分

又∵
平面
，

∴
．……………………………………………6分

（方法三）：
………………2分

………………………………3分

………4分

，……………………5分

∴
．……………………………………………6分

（II）解（方法一）：过
作
⊥
于点
．则
平面
，

又∵平面
⊥平面
，平面

平面

，

∴
⊥平面
． ……………………………………8分

过
做
⊥
于点
，连接
． ………………9分

∵
⊥平面
，∴
⊥
，又
，

∴
⊥平面
，∴
⊥
．…………………10分

∴
为二面角
的平面角． …………11分

连接
．∵
，∴
⊥
．

∵
，
，

∴
，
．∵
，∴
． ………12分

∴
∴
．…………………………13分

∴
，…………………………………………14分

∴
．

∴二面角
的余弦值为
．………………………………15分

（方法二）：由（I）过
作
⊥
于点
，连接

∵
，∴
⊥
．

∵平面
⊥平面
， ∴
⊥
．…………………………7分

分别以
为
轴建立空间直角坐标系．………………8分

∵
，
，

∴
，
．

∵
，∴
．………………………………9分

．…10分

可得
，
．………11分

设平面
的法向量为
，

则
，取
，

得一个
．……………………………………………………12分

取平面
的法向量为
．……………………………………13分

．……………………………………14分

∴二面角
的余弦值为
．…………………………………15分

18．（本题15分）解：（I）由椭圆的下顶点为
知
． ………1分

由
到焦点的距离为
知
．………………………………………2分

所以椭圆
的方程为
．……………………………………3分

设
，
……………………………………4分

．……………5分

∴当
时，
． …………………………………………6分

（II）由题设可知
的斜率必存在．………………………………………………7分

由于
过点
，可设
方程为
．……………………………8分

与
联立消去
得
．……………9分

其

．（*）……10分

设
，则
．………………11分

解法一：
…………………………………………12分

． ………………………………………………………13分

解法二：
，
到
的距离
．

………………………………………………………………12分