景德镇市2015届高三第二次质检试题

数 学(理)

命题 昌江一中 叶柔涌 市二中 张勋达 审核 刘倩

市一中 邱金龙 十六中 潘来水

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

设集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．设
是复数，
表示满足
的最小正整数
，则对虚数单位
，

A.2 B. 4 C.6 D.8

3．4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的概率为

A．
B．
C．
D．

4．设
为公差不为零的等差数列
的前
项和，若
，则

A. 15 B. 17

C. 19 D. 21

5．已知
，
，则
的值为( )

A．
B．

C．
D．

6．执行以下程序框图，所得的结果为（ ）

A．1067 B．2100

C．2101 D． 4160

7．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A．
B．

C．
D．

已知实数
满足
，

若

取得的最优解
有无数个，则
的值为( )

A．
B．
C．
或
D．

9．已知抛物线
的焦点为
，定点
，点
为抛物线上的动点，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

10．已知三棱锥
的所有顶点
都在球
的球面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
；则此棱锥的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知双曲线
两个焦点为分别为
，过点
的直线
与该双曲线的右支交于
两点，且
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，则
为( )

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，对于任意
，都存在
，使得
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．

13．
的展开式中的常数项为 ．

14．已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为 .

15．　若△ABC的内角，满足
成等差数列，则cos C的最小值是_ _____．

16．已知函数
的图象关于点
中心对称，设关于
的不等式
的解集为
，若
，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知
的三个内角A、B、C的对边分别为
，且
的面积
．

（1）求角B的大小;

（2）若
，且
，求边
的取值范围．

18．（本小题满分12分）某电视台有一档综艺节目，其中有一个抢答环节，有甲、乙两位选手进行抢答，规则如下：若选手抢到答题权，答对得20分，答错或不答则送给对手10分．已知甲每次抢到答题权的概率为
，且答对的概率为
，乙抢到答题权的概率为
，且答对的概率为
．

（1）在一轮抢答中，甲得到0分的概率;

（2）若比赛进行两轮，求甲得分的分布列及其期望．

19．（本小题满分12分）在平行六面体
中，
，
,
是
的中点．

（1）证明：
面
;

（2）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
：
，其通径(过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段)长．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设过椭圆
右焦点的直线（不与
轴重合）与椭圆交于
两点，问在
轴上是否存在一点
，使
为常数？若存在，求点
的坐标，若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）已知函数
为常数）的所有极值之和为零；

（1）求
及
的极大值点；

（2）若
的极大值为
,对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
(
)的外接圆为圆
，过
的切线
交
于点
，过
作直线交
于点
，且

（1）求证：
平分角
；

（2）已知
，求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
，曲线
的参数方程为
，设直线
与曲线
交于两点

（1）求
；

（2）设
为曲线
上的一点，当
的面积取最大值时，求点
的坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（1）已知
，求
的取值范围；

（2）若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．

景德镇市2015届高三第二次质检试题

数 学(理)答案

一 选择题 DBAAB C CCCA DB

二 填空题 13 40 14
15
16

17.解：（1）、

（2）

18 . 解：（1）P=

（2）设甲得分为X，X的可能取值为0，10，20，30，40

P（X=0）=
P（X=10）=

P（X=20）=
P（X=30）=

P（X=40）=

19 .（1）证明:由
的中点
， 由
同理

平面
．

（2）
,

为直角三角形，

以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立坐标系，不妨设
，则
，
，
，

由

，
设
为平面
的法向量

可求得

20 （1）

（2）存在，
，当直线与
轴不垂直时，设
，直线的方程为：

代入
得

当
时，即
，

当直线与
轴垂直时，
，

，

，

21 （1）

是
的两个极值点

的极大值点为1.

（2）
对任意
，
恒成立

即对任意
，
恒成立

对
恒成立 故

任意
恒成立

令

令

递减，
递增

递增

，
递减；
，
递增

满足条件
时，存在
，使

当