苏州市2015届上学期高三期末调研考试

数学试题

一、填空题

1.已知集合
，则
.

2.已知
为虚数单位
，则
.

3.已知函数
的最小正周期是
，则正数
的值为 .

4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 .

5.已知等差数列
中，
，若前5项的和
，则其公差为 .

6.运行如图所示的流程图，如果输入
，

则输出的
的值为 .

7.以抛物线
的焦点为顶点，顶点为中心，

离心率为2的双曲线标准方程为 .

8.设
，则以
为坐标

的点落在不等式
所表示的平面区域内的

概率为 .

9.已知函数
的定义域是
，

则实数
的值为 .

10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 .

11.如图，在
中，已知
，

点
分别在边
上，且
，

点
为
中点，则
的值为 .

12.已知函数

若函数
恰有三个不同的零点，则实数
的取值范围是 .

13.已知圆
，直线
为直线
上一点，若圆
上存在两点
，使得
，则点A的横坐标的取值范围是 .

14.已知
为正实数，且
，则
的最小值为 .

二、解答题

15.已知向量
，且
共线，其中
.

（1）求
的值；

（2）若
，求
的值.

16.如图，在正方体
中，
分别是
中点.

求证：（1）
∥平面
；

（2）
平面
.

17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为
的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.

（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

18.如图，已知椭圆
，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在
轴下方），且线段AB的中点E在直线
上.

（1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线
于点M、N，证明：OM
ON为定值.

19.已知函数
，其中
为自然对数底数.

（1）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（2）讨论函数
的单调性，并写出相应的单调区间；

（3）已知
，若函数
对任意
都成立，求
的最大值.

20.已知数列
中

.

（1）是否存在实数
，使数列
是等比数列？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由；

（2）若
是数列
的前
项和，求满足
的所有正整数
.

数 学

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-１：几何证明选讲

（本小题满分10分）如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA，切点为A，连结OP与圆O交于点C，过C作AP的算线，垂足为D，若PA＝12cm，PC＝6cm，求CD的长。

B．选修4-2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

已知矩阵，A=
，向量
，求向量
，使得
.

C．选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆
与直线
相切，求实数a的值.

D．选修4－5：不等式选讲

（本小题满分10分）设实数x，y，z满足
，的最小值，并求此时x，y，z的值。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
.

（1）求二面角A-DF-B的大小；

（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为
.

23、（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为
；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）.

（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求X的概率分布列及数学期望E（X）.

（2）若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.

苏州市2015届高三调研测试

数学Ⅰ试题 2015．1

参考答案与评分标准

1．(－2，1] 2．1 3．6 4．3 5．2

6．9 7．
8．
9．
10．
π

11．4 12．
13．[1,5] 14．

15．解 （1）∵a∥b，∴
，即
． ………………………………4分

∴
． ………………………………………………7分

（2）由（1）知
，又
，∴
， …………9分

∴
，

∴
，即
，

∴
，即
， ………………………………………………………12分

又
，∴
． ……………………………………………………………14分

16．证明：（1）连结A1D，

∵ E，F分别是AD和DD1的中点，∴ EF∥AD 1． …………………………………2分

∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，

∴ AB∥D1C1，AB=D1C1．

∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1 ………………………………………4分

∴ EF∥BC1．

又EF
平面C1BD，BC1
平面C1BD，

∴ EF∥平面AB1D1． ……………………………………7分

（2）连结AC，则AC⊥BD．

∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，

∴ AA1⊥BD．

又
，∴BD⊥平面AA1C，

∴ A1C⊥BD． ……………………………………………11分

同理可证A1C⊥BC1．

又
，∴A1C⊥平面C1BD． ……………………………………………… 14分

17．解 设
米，
米．

（1）则
，
的面积

． …………………………………………………………3分

∴S

．

当且仅当
时取“=”． …………………………………………………………6分

（注：不写“＝”成立条件扣1分）

（2）由题意得
，即
． …………………8分

要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以

（
） ………………………………………11分

当
时，
有最小值
，此时
． …………………………13分

答：（1）当
米时，三角形地块APQ的面积最大为
平方米；

（2）当
米
米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分

18．解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．

代入椭圆方程得
，即
，

解得
或
（舍）． ………………………………………………3分

所以A（
，
），

故直线AB的方程为
． …………………………………………………6分

（2）设
，则
，即
．

设
,由A，P，M三点共线，即
，

∴
，

又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标
，……………………………9分

设
，由B，P，N三点共线，即
，

∴
，

点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标
． …………………………12分

所以OM·ON=
=
＝2

=
=
=
=
．…………………… 16分

19．解：（1）当
时，
，
，
， ………………2分

∴函数
在点
处的切线方程为
，

即
． ……………………………………………………………………4分

（2）∵
，

①当
时，
，函数
在
上单调递增；………………………………6分

②当
时，由
得
，

∴
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增．

综上，当
时，函数
的单调递增区间为
；当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
． ……………………………………9分

（3）由（2）知，当
时，函数
在
上单调递增，

∴
不可能恒成立； ………………………………………………………………10分

当
时，
，此时
； ………………………………………………………11分

当
时，由函数
对任意
都成立，得
，

∵
，∴
………………………………13分

∴
，

设
，∴
，

由于
，令
，得
，
，

当
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减．

∴
，即
的最大值为
，

此时
． ………………………………………………………………… 16分

20．解：（1）设
，

因为

． …………………………………2分

若数列
是等比数列，则必须有
（常数），

即
，即