2015届上学期无锡市高三期末试卷

数学

一、填空题

1.已知复数
满足
,则
的模为 .

2.已知集合
,
,则
.

3.已知角
的终边经过点
,且
,则
的值为 .

4.根据如图所示的流程图，则输出的结果
为 .

5.将
本不同的数学书和
本语文书在书架上随机排成一行，则
本数学书相邻的概率为 .

6.若一组样本数据
的平均数为
，则该组样本数据的方差为 .

7.已知焦点在
轴上的双曲线的渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为 .

8.三棱锥
中，
分别为
的中点，记三棱锥
的体积为
，
的体积为
，则
.

9.将函数
的图像向左平移个
单位长度后，所得的图像关于
轴对称，则
的最小值是 .

10.已知菱形
的边长为
，
,点
分别在边
上，
.若
，则
.

11.已知正实数
满足
，则
的最大值为 .

12.已知数列
的首项
，前
项和为
，且满足
，则满足
的
的最大值为 .

13.已知点
位圆
外一点，圆
上存在点
使得
，则实数
的取值范围是 .

14.已知函数
是定义域为
的偶函数，当
时，
若关于
的方程
有且仅有
个不同实数根，则实数
的取值范围是 .

二、解答题

15.（本小题满分14分）

已知向量
.

(1)当
时，求
的值；

(2)设函数
，当
时，求
的值域.

16. （本小题满分14分）

如图，过四棱柱
形木块上底面内的一点
和下底面的对角线
将木块锯开，得到截面
.

(1)请在木块的上表面作出过
的锯线
，并说明理由；

(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形
，试证明：平面
平面
.

17. （本小题满分14分）

某公司生产的某批产品的销售量
万件（生产量与销售量相等）与促销费用
万元满足
（其中
为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本
万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为
元/件.

(1)将该产品的利润
万元表示为促销费用
万元的函数；

(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

18. （本小题满分16分）

已知椭圆
的上顶点为
，直线
交椭圆于
两点，设直线
的斜率分别为
.

(1)若
时，求
的值；

(2)若
时，证明直线
过定点.

19. （本小题满分16分）

在数列
中，已知
，
，
，
，数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，且满足
，
，其中
为正整数.

(1)求数列
的通项公式；

(2)问是否存在正整数
，
，使
成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对
，若不存在，请说明理由.

20. （本小题满分16分）

设函数
在点
处的切线方程为
.

(1)求实数
及
的值；

(2)求证：对任意实数
，函数
有且仅有两个零点.

21、A（10分）选修4-1　几何证明选讲

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE。

（1）证明：∠D＝∠E;

（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形。

21、B（10分）选修4-2，矩阵与变换

已知矩阵M＝
，试求

（I）矩阵M的逆矩阵M－1；

（II）直线y＝2x在矩阵M－1对应的变换作用下的曲线方程。

21、C（10分）选修4-4，坐标系与参数方程

已知半圆C的参数方程为

（I）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；

(II)在（I）的条件下，设T是半圆C上的一点，且OT＝
，试写出T点的极坐标。

21、D（10分）选修4-5，不等式选讲

已知函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－a｜、

（I）当a＝2时，解不等式f（x）≥4；

（II）若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围。

22、如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2,1），
均在抛物线上。

（I）求抛物线的方程；

（II）若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值。

23、已知整数
，集合
的所有含有3个元素的子集记为
设

中所有元素之和为

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