泰州市2015届高三第一次模拟考试

数 学 试 题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张 俊 吴春胜

审题人：丁凤桂 石志群

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

（参考公式：
，
）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1.已知
，
，则
▲ ．

2.函数
的最小正周期为 ▲ ．

3.复数
满足


（
是虚数单位），则
▲ ．

4.函数
的定义域为 ▲ ．

5.执行如右图所示的流程图，则输出的
为 ▲ ．

6.若数据
的方差为
，则
▲ ．

7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．

8.等比数列
中，
，
，则数列的前
项和为 ▲ ．

9.已知函数
是奇函数，则
▲ ．

10.双曲线
的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的

离心率
▲ ．

11.若
是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①若直线
，则在平面
内，一定不存在与直线
平行的直线．

②若直线
，则在平面
内，一定存在无数条直线与直线
垂直．

③若直线
，则在平面
内，不一定存在与直线
垂直的直线．

④若直线
，则在平面
内，一定存在与直线
垂直的直线．

12.已知实数
满足
，
，则
的取值范围为 ▲ ．

13.在
中，角
所对的边分别为
，若
且
，则
面积的最大值为 ▲ ．

14.在梯形
中，
，
，
为梯形
所在平面上一点，且满足
=0，
，
为边
上的一个动点，则
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15.（本题满分14分）

在平面直角坐标系
中，角
的终边经过点
．

（１）求
的值；

（２）若
关于
轴的对称点为
，求
的值．

16.（本题满分14分）

如图，在多面体
中，四边形
是菱形，
相交于点
，
，
，平面

平面
，
，点
为
的中点．

（1）求证：直线
平面
；

（2）求证：直线

平面
．

17.（本题满分14分）

如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以
为斜边的等腰直角三角形
构成，其中
为
的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道
，按实际需要，四边形
的两个顶点
分别在线段
上，另外两个顶点
在半圆上，
，且
间的距离为1km．设四边形
的周长为
km．

（1）若
分别为
的中点，求
长；

（2）求周长
的最大值．

18.（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系
中，离心率为
的椭圆

的左顶点为
，过原点
的直线（与坐标轴不重合）与椭圆
交于
两点，直线
分别与
轴交于
两点．若直线
斜率为
时，
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）试问以
为直径的圆是否经过定点（与直线
的斜率无关）？请证明你的结论．

19.（（本题满分16分）

数列
，
，
满足：
，
，
．

（1）若数列
是等差数列，求证：数列
是等差数列；

（2）若数列
，
都是等差数列，求证：数列
从第二项起为等差数列；

（3）若数列
是等差数列，试判断当
时，数列
是否成等差数列？证明你的结论．

20.（本题满分16分）

已知函数
，
．

(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

(2) 若直线
是函数
图象的切线，求
的最小值；

(3)当
时，若
与
的图象有两个交点
，求证：

．

（取
为
，取
为
，取
为
）

泰州市2015届高三第一次模拟考试

数 学 试 题(附加题)

(考试时间：30分钟 总分：40分)

21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．

A．（本小题满分10分，几何证明选讲）

如图，
与圆
相切于点
，
是
的中点，过点
引圆
的割线，与圆
相交于点
，连结
．

求证：
．

B．（本小题满分10分，矩阵与变换）

已知矩阵
，
，若矩阵
对应的变换把直线
变为直线
，求直线
的方程．

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

己知在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）．以原点
为极点，以
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，直线
与圆
相交于
两点，求弦
的长．

D．（本小题满分10分，不等式选讲）

已知正实数
满足
，求证：
．

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（(本小题满分10分)

如图，在长方体
中，
，
，
与
相交于点
，点
在线段
上（点
与点
不重合）．

(1)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
的长度;

(2)若
，求平面
与平面
所成角的正弦值．

23.（(本小题满分10分)

记
为从
个不同的元素中取出
个元素的所有组合的个数．随机变量
表示满足
的二元数组
中的
，其中
，每一个
（
0,1,2,…,
）都等可能出现．求
．

泰州市2015届高三第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题

1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；

6．
； 7．
； 8．
； 9．
； 　10．
；

11．②④； 12．
； 13．
； 14．

二、解答题

15. 解：（１）∵角
的终边经过点
，∴
，……………4分

∴
．……………7分

（２）∵
关于
轴的对称点为
，∴
．………………………………9分

∴
，∴
．　 ……………１４分

16. 证明（1）∵四边形
是菱形，
，∴点
是
的中点，

∵点
为
的中点 ∴
， ………………3分

又∵
平面
，
平面
，∴直线
平面
．………７分

（２）∵
，点
为
的中点, ∴
,

∵平面

平面
，平面

平面

，

平面
，
∴
平面
， ………………9分

∵
平面
∴
,

∵
，
，∴
，

∴四边形
为平行四边形, ∴
， ………………11分

∵
，
，∴