泉州五中、莆田一中、漳州一中2015届高三

上学期期末考试 理科数学试卷

(全卷满分150分，考试时间120分钟.)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.)

1、设集合A={x|0

A.
B.
C.
D.

2、已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图象，只要将
的图象 ( )

A.向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度

3、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )

A.
B.

C.
D.

4、已知向量
= (m2，4)，
=(1，1)则“m= -2”是“
//
”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5、若
，
，
,则下列结论正确的是 ( )

A.
B.
C.
D.

6、已知数列
满足
，若
则
( )

A. —1 B. 1 C. 2 D. 4

7、若实数a,b满足a2+b2≤1，则关于
的方程x2-2x+a+b=0无实数根的概率为 ( )

A.
B.
C.
D.

8、双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则该双曲线的离心率等于 ( )

A.
B.
C.
D.

9、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0,且在[3，4]上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则 ( )

A. f(sinA)f(cosB) C. f(sinA)>f(sinB) D.f(cosA)>f(cosB)

10、如图：已知方程为
的椭圆，
为顶点，过右焦点的弦
的长度为
，中心
到弦
的距离为
，点
从右顶点
开始按逆时针方向在椭圆上移动到
停止，当
时，记
，当
，记
，函数
图像是 (　 )

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

11、已知i是虚数单位，复数
= .

12、在△
中，三个角
的对边边长分别为
,则
的值为 .

13、从6名候选人中选派出3人参加
、
、
三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加
活动，则不同的选派方法有 种.

14、正偶数列有一个有趣的现象：①
；②
；

③

按照这样的规律，则2012在第 个等式中。

15、定义一个对应法则

，现有点
与
，点
是线段
上一动点，按定义的对应法则
，当点
在线段
上从点的
开始运动到点
结束时，则点
的对应点
所形成的轨迹与x轴围成的面积为

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16、已知函数
的最小正周期为
.

(I)求
值及
的单调递增区间；

(II)在△
中，
分别是三个内角
所对边，若
，
，
，求
的大小.

17、如图,
是正方形，
平面
，
，
.

(Ⅰ) 求证：

；

(Ⅱ) 求面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值.

18、抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品
，假定
正面向上的概率为
，
正面向上的概率为
，
正面向上的概率为t(0

(1)求
的分布列及数学期望
(用t表示)；

(2)令
,求数列
的前n项和.

19、已知椭圆的焦点坐标为
(-1,0)，
(1,0)，过
垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，

(1) 求椭圆的方程；

(2) 过
的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△
MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

20、已知函数

(Ⅰ)若
时，函数
在其定义域上是增函数，求b的取值范围；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下，设函数
的最小值；

(Ⅲ)设函数
的图象C1与函数
的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴

的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切

线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

21、本题设有(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换

若二阶矩阵
满足
.

(Ⅰ)求二阶矩阵
；

(Ⅱ)把矩阵
所对应的变换作用在曲线
上，求所得曲线的方程.

(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的方程为
，曲线
的参数方程
(
为参数)

(I)已知在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴)中，点
的极坐标
，判断点
与直线
的位置关系；

(II)设点
为曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值.

(3)(本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式：
的整数解有且仅有一个值为2.

(Ⅰ)求整数
的值;

(Ⅱ)已知
，若
，求
的最大值

2014届高三上学期期末理科数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1.D 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10.B

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11.
12．
13．100 14.31 15. 4

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

16、解：（I）
，……（3分）

∵
最小正周期为
，∴
， …………（4分）

，
增区间是
；…………（7分）

（II）∵
，
，∴
， …………（9分）

∵
，
，由正弦定理
， …………（11分）

∵
，∴
或
． …………（13分）

17、(Ⅰ)证明： 因为
平面
，

所以
. ……………………1分

因为
是正方形，

所以
，

所以
平面
, …………………3分

从而

……………………4分

(Ⅱ)解：因为
两两垂直，

所以建立空间直角坐标系
如图所示. …………5分

设
，可知
. ……………………6分

则
,
，
，
，
，
，

所以
，
， ………………7分

设平面
的法向量为

，则
，即
，

令
，则

. …………………10分

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
…………………………12分

所以面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值为
. …………13分

18、

19、 解：（1） 设椭圆方程为
=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1由PQ|=3，可得
=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=
，…………………………………………………3分

故椭圆方程为
=1……………………………………………4分

（2） 设M
，N
,不妨
>0,
<0,设△
MN的内切圆的径R，

则△
MN的周长=4a=8，
（MN+
M+
N）R=4R

因此
最大，R就最大，………………………………………6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由
得
+6my-9=0，………………………8分

得
，
，

则
AB（
）=
=
，……………9分

令t=
,则t≥1,

则
,………………………10分

令f（t）=3t+
，则f′(t) =3-
，

当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4,
≤
=3,

即当t=1,m=0时，
≤
=3,
=4R，∴
=
，

这时所求内切圆面积的最大值为
π.

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为
π………………13分

20、解：（1）依题意：

∵
上是增函数，

∴
恒成立，……………………2分

∴
∵
∴b的取值范围为
………4分

（2）设
，即

…5分

∴当
上为增函数，

当t=1时，
…6分

当

…………7分

当
上为减函数，

当t=2时，
……………8分

综上所述，当

当

…9分

（3）设点P、Q的坐标是
则点M、N的横坐标为

C1在M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

即

则

，
………12分

设
…………………………①

令
则

∵
∴

所以
上单调递增，故
， 则

这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.……14分

21、（1）解：（Ⅰ）记矩阵
，故
，故
. ……2分

由已知得
. ……3分

（Ⅱ）设二阶矩阵
所对应的变换为
，得
，

解得
， ……5分

又
，故有
，化简得
.故所得曲线的方程为
. ……7分

（2）解：（I）把极坐标系下的点
化为直角坐标，得P（0，4）。……1分

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线
的方程
，

所以点P在直线
上. ……3分

（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为
，……4分

从而点Q到直线
的距离为