宁德市2015届高三单科质量检测

文科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工
整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：



第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（
为虚数单位）等于

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，若
，则实数
可以是

A．
B．
C．
D．

3．已知

为第二象限角，则
的值是

A．
B．
C．
D．

4．如图所
示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆，

数得落在
椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出

椭圆的面积约为

A.4.7 B.4.8 C.1.2 D.1.3

5．
的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6. 已知一个几何体的三视图如图所示，

根据图中尺寸可得该几何体的体积为

A．

B．

C．

D．

7．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向左平移
个单位

8. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有

实数对
所对应的点都在函数

A．
的图像上

B．
的图像上

C．
的图像上

D．
的图像上

9. 定义在
上的函数
满足
.当
时，
.若在区间
上函数
有
个零点，则实数
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

10. 若双曲线
的渐近线与圆
有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11.不等式组
围成的区域为
，能够把区域
的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为

A．
B．

C．
D．

12.一数字游戏规则如下：第1次生成一个数
，以后每次生成的结果均是由上一次生成的每一个数
生成两个数，一个是
，另一个是
．设前
次生成的所有数的和为
，若
，则

A．63 B．64 C．127 D．128

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．

13．某校参加“数迷会”社团的学生中，高一年级有50名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个容量为18的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .

14．若向量
，
，且
∥
，则
＝ .

15．已知扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为 .

16．已知函数
，若对于任意
，不等式

恒成立，则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，点
在函数
的图象上.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

某市一水电站的年发电量
（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量
（单位：毫米）有如下统计数据：

2010年

2011年

2012年

2013年

2014年



降雨量
(毫米)

1500

1400

1900

1600

2100



发电量
(亿千瓦时)

7.4

7.0

9.2

7.9

10.0





（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0(亿千瓦时)的概率；

（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为
．该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时?

19．(本小题满分12分)

如图三棱柱ABC
－A1B1C1中，点M为AB的中点．

（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CM；

（Ⅱ）若CA=CB，A1在平面ABC的射影为M，

求证: 平面A1CM⊥平面ABB1 A1．

20.（本小题满分12分）

已知函数

的最小正周期为
.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）在
中，角
所对的边分别为
，当
时函数
取到最值，

且
的面积为
，
，求
的值.

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅲ）求证：
.

22.（本小题满分14分）

已知抛物线
的焦点F与椭圆
的一个焦点重合．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）直线
交抛物线于A,B两点，过A,B分别作抛物线的切线交于点P．

（ⅰ）探究
是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明
理由；

（ⅱ）若直线
与抛物线交于C,D，求证：
．

说明：

一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表
示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．A 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．C 12．A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．8； 14．
； 15．1； 16．
．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．

解：（I）∵点
在函数
的图象上，

∴
1分

∴当
时，
, 2分

当
时，
3分

4分

又
满足
5分

∴
6分

(II) ∵
7分

， 9分

∴

11分

12分

18．本题主要考查概率、统计等基础知识
，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解

能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为

共10个． 3分

（说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分）

其中2年发电量都低于
（亿千瓦时）的基本事件为

共3个． 5分

所
以这2年发电量都低于
（亿千瓦时）的概率
6分

（II）∵
7分

8分

又直线
过点
， 9分

∴

解得
，

∴
． 10分

当
时，
, 11分

所以不能完成发电任务，缺口量为
（亿千瓦时）． 12分

19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，满分12分．

证法一：（I）连接
交
于点
，则
为
的中点．……1分

∵
为
的中点，

∴
．……………………………………………3分

又∵
， ………………………………4分

， ……………………………………5分

∴
．……………………………………6分

（II）∵
，
为
的中点，

∴
． …………………………………………7分

∵
在平面
的射影为
，

∴
，………………………………
……8分

∴
，…………………
………………………9分

又
，

∴
，…………………………………10分

又
，………………………………11分

∴
…………………………12分

证法二：（I）取
中点
，连结
，………1分

∵
为
的中点，

∴
，

∴四边形
为平行四边形，

∴
．…………………………………………2分

同理可得
，

又
，
，…………3分

∴
．…………………………………4分

同理
．

∵
，

∴
，……………………………5分

∵
，

∴
． …………………………………6分

（II）同解法一．

20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分．

解：（I）依题意得：

2分

3分

， 4分

∵
，

∴
，

∴
， 5分

∴
． 6分

（II）∵
，

∴
．

∵
在
时取得最值，

∴
． 8分

∵
，

∴
． 9分

∵
，

∴
10分

， 11分

∴
12分

21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．

解法一：（
I）
1分

由
可得
；由

可得
2分

∴