2014-2015学年上学期高三数学（文科）期末八校联考试卷

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则A∩B等于（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{1，2}

2．设i为虚数单位，复数
等于（　　）

A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i

3．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（　　）

A．π B．2π

C．3π D．4π

4．执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　）

A．120 B．720 C．1440 D．5040

5．已知{an}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（　　）

A．40 B．45 C．50 D．55

6．双曲线
的离心率e为（　　）

A．
B．
C．
D．

7．已知sin（
+α）=
，α∈（0，
），则sin（π+α）=（　　）

A．
B．﹣
C．
D．﹣

8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（　　）

A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1

C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1

9．双曲线x2﹣y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（　　）

A．
B．
　C．
D．

10．已知
均为单位向量，那么
是
的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

11．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（　　）

A．（﹣
，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣
，+∞）

12．G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A={x|x2=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论：

①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；

②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合；

③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；

④令Φ是全体大于零的实数所成的集合，RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合；

其中，正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为320的样本，已知从学生中抽取的人数为280，那么该学校的教师人数是　 ．

14．已知函数f（x）=mx2+nx﹣2（m＞0，n＞0）的一个零点是2，则
的最小值为　 　．

15．如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为 圆心，l为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为　 ．

16．已知函数f（x）=
，若关于x的不等式f（x）≥m2﹣
m有解，则实数m的取值范围为　 　．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.

17．等差数列{an}中，已知a1=3，a4=12，

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a4分别为等比数列{bn}的第1项和第2项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

18．已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量
=（2sinB，
），
，且
⊥
，

（1）求f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB的单调减区间；

（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

19．沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的
倍．

（1）求a，b的值；

（2）从样本中产量在区间（50，60]上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60]上的果树至少有一株被抽中的概率．

20．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

21．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣
和x=1

（1）求b，c的值与f（x）的单调区间

（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

22．已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点（1，
），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．

2014-2015学年上学期高三数学（文科）期末八校联考答案

一、选择题： CDCBA ADAAB AA

二、填空题：13. 300 14. 8 15.
16.

三、解答题：

17. 解：（I）设数列{an}的公差为d，

由已知有
（2分）

解得d=3 （4分）

∴an=3+（n﹣1）3=3n （6分）

（Ⅱ）由（I）得a2=6，a4=12，则b1=6，b2=12， （8分）

设bn的公比为q，则
， （9分）

从而bn=6?2n﹣1=3?2n （11分）

所以数列{bn}的前n项和
（12分）

18. 解：∵向量
=（2sinB，
），
=（2cos2
﹣1，cos2B），且
⊥
，

∴
?
=2sinBcosB+
cos2B=sin2B+
cos2B=2sin（2B+
）=0， （2分）

∴2B+
=kπ，即B=
π﹣
，k∈Z，

∵0＜B＜
，∴B=
， （4分）

（1）f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB=sin（2x﹣B）=sin（2x﹣
）， （6分）

由2x﹣
∈[2kπ+
，2kπ+
]，k∈Z，得函数f（x）的单调减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z； （8分）

（2）由余弦定理得：16=a2+c2﹣2accos
=a2+c2﹣ac≥ac， （10分）

∴S△ABC=
acsin
≤4
，

则△ABC面积的最大值为4
． （12分）

19. 解：（1）由题意知：

解得：
， （4分）

（2）在（50，55]中有4个个体，在（55，60]中有2个个体，所以（50，60]中共6个个体．

所以从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数为
=15个， （8分）

设“至少有一个个体落在（55，60]之间”为事件A，

则A包含基本事件15﹣C
=9个， （10分）

所以P（A）=
=
． （12分）

20. 证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP=
．

又AB∥DE，且AB=
．

∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP． （4分）

又∵AF
平面BCE，BP
平面BCE，

∴AF∥平面BCE （6分）

（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB

∴DE⊥平面ACD又AF
平面ACD

∴DE⊥AF

又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE （10分）

又BP∥AF∴BP⊥平面CDE

又∵BP
平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE （12分）

21. 解：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，

∴f'（x）=3x2+2bx+c，

∵f（x）的极值点为x=﹣
和x=1

∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（
）=
﹣
b+c=0，

解得，b=
，c=﹣3 （4分）

∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），

当f'（x）＞0时，解得x＜﹣
，或x＞1，

当f'（x）＜0时，解得﹣
＜x＜1，

故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣
）和（1，+∞），单调减区间为（﹣
，1），（6分）

（2）有（1）知f（x）=x3﹣
x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，

故函数在[﹣1，﹣
）和（1，2]单调递增增，在（﹣
，1）单调递减，（8分）

当x=﹣
，函数有极大值，f（
）=
，f（2）=2，

所以函数的最大值为2， （10分）

所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]时恒成立，

故m＞2

故实数m的取值范围为（2，+∞）. （12分）

22. 解：（1）∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点（1，
），

F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2，

∴
，解得
，

∴椭圆的标准方程为
．（4分）

（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆
相交，

P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，

F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，

由圆和椭圆的对称性，知
，y1=y2，

|P1P2|=2|x1|，

由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），

所以
=（x1+1，y1），
=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥
，

得﹣（x1+1）2+
=0，

由椭圆方程得1﹣
=（x1+1）2，即
=0，

解得
或x1=0．

当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．

当
时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，

设C（0，y0），由CP1⊥F1P1，得
，

而y1=|x1+1|=
，故
，

圆C的半径|CP1|=
=
．

综上，存在满足条件的圆，其方程为：
=
．

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