宁德市2015届高三单科质量检测

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答
题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：




第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，
，则满足

且
的实数
所组成的集合为

A．
B．
C．
D．

2．命题“若
，则
”的逆否命题是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

19

6

25



女生

9

16

25



合计

28

22

50



根据表中的数据及随机变量
的公式，算得
．

临界值表：

P(χ2≥k)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是

A．97.5% B．99% C．99.5％ D．99.9%

4．某公司将4名新招聘的员工分配至3个不同

的部门，每个部门至少分配一名员工．其中

甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分

配方法的总数为

A．6 B．12 Ｃ．24 D．36

5．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对

所对应的点都在函数

A．
的图象上

B．
的图象上

C．
的图象上

D．
的图象上

6．若变量
满足约束条件
且
的

最大值和最小值分别为
和
，则
等于

A．8 B．7 C．6 D．5

7．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，其中
，则下列结论中正确的是

A．
的一条对称轴是

B．
在
上单调递增

C．
是最小正周期为
的奇函数

D．将函数
的图象左移
个单位得到函数
的图象

9．已知
为坐标原点，向量
，
．若平面区域
由所有满足
（
，
）的点
组成，则能够把区域
的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是

A．
B．

C．
D．

10．斜率为
的两条直线分别切函数
的图象于
，
两点．若直线
的方程为
，则
的值为

A．8 B．7 C．6 D．5

第II卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题
卡相应位置．

11．已知复数
(
是虚数单位)，则
的模
_______．

12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为

3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中乙种产品有
30件，则样本容量n＝________．

13．如图，直线

与函数
的图象交于点
，
，

过
作
轴于
．在
中任取一点，则该点落在阴

影部分的概率为________．

14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为
，且
成等差数列．若其对角线长为
，则
的最大值为________．

15．如图，
，
，
，
均为

等腰直角三角形，其直角顶点
，
，
，

在曲线
上，
与坐标原点
重合，

在
轴正半轴上．设
的纵坐标为
，

则
________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分13分)

分组

频数

频率



(80，90]

3

0.03



(90，100]

7

0.07



(100，110]



0.10



(110，120]

20





(120，130]

35

0.35



(130，140]

20

0.20



(140，150]

5

0.05



合计



1.00



某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、

健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出
条鱼称其

重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频

率分布表．

（Ⅰ）求频率分布表中的
，
，
的值；

（Ⅱ）从捞出的重量不超过
克的鱼中，随机抽取
条

作病理检测，记这
条鱼中，重量不超过
克的鱼的条

数为
，求
的分布列和数学期望．

17．(本小题满分13分)

已知数列
满足：
，且
．

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
．

18．(本小题满分13分)

如图（1）所示，直角梯形
中，
，
，
，
．过
作
于
，
是线段
上的一个动点．将
沿
向上折起，使平面
平面
．连结
，
，
（如图（2））．

（Ⅰ）取线段
的中点
，问：是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的长；不存在，说明理由；

（Ⅱ）当
时，求平面
和平面
所成的锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分13分）

某供货商拟从码头
发货至其对岸
的两个商场
，
处，

通常货物先由
处船运至
之间的中转站
，再利用车

辆转运．如图
，码头
与两商场
，
的距离相等，两商

场间的距离为
千米，且
．若一批货物从码头

至
处的运费为100元/千米，这批货到
后需分别发车2辆、

4辆转运至
、
处，每辆汽车运费为25元/千米．设
该批货总运费为
元．

（Ⅰ）写出
关于
的函数关系式，并指出
的取值范围；

（Ⅱ）当
为何值时，总运费
最小？并求出
的最小值．

20． (本小题满分14分)

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）
若
在
有唯一的零点
，求
的取值范围；

（Ⅲ）若
，设
，求证：
在
内有唯一的零点
，且对（Ⅱ）中的
，满足
．

21．(本小题满分14分)

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分）

已知二阶矩阵A有特征值
，
，其对应的一个特征向量分别为
，
．

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）求圆
在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线
的方程．

（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）

已知倾斜角为
，过点
的直线
与曲线C：

是参数
相交于
，
两点．

（Ⅰ）写出直线
的参数方程和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求
的值．



说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力
，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.

11.
12.
13.
14.
15.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．

解：（Ⅰ）依题意，
， ………………………………………1分

∴
． ………………………………………………2分

∴
， …………………………………………3分
． ……………………………………………4分（Ⅱ）依题意，
的所有可能取值为0，1，2，3， …………5分

，
，

，
， …………9分

（说明：以上4个式子，每个1分）

故
的分布列为

0

1

2

3



P











…………11分

所以
的数学期望
…………12分．

. …………………………………13分

17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分.

解法一：（Ⅰ）令
，………………………………………………1分

则
…………………………………………2分

……… ………………………3分

………………………………………4分

∴数列
为公差为
的等差数列.

即数列
是公差为
的等差数列. ……………………………5分

解法二：（Ⅰ）∵
，

∴