2015届高三漳州八校第二次联考数学理科试卷

命题：芗城中学高三理科备课组

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内

填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，

考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中

有且只有一个答案是正确的，把正确选项填在答题卡的相应位置上．）

1．复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．如果
，则下列不等式成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

4．“
”是“函数
有零点”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 若程序框图如右图所示,则该程序运行后输出
的值是( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

6．在等差数列
中，若
，则此数列的

前13项的和等于（ ） A．8 B．13 C．16 D．26

7．平面向量
、
满足
，且
，
，

则
与
的夹角等于（ ）A．
B．
C．
D．

8．已知
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （　　　）

A．若
，且
，则
B．若
，且
，则

C．若
，且
，则
D．若
，且
，则

9．设
，则二项式
展开式中的
项的系数为（ ）

A .
B. 20 C.
D. 160

10．对于定义域为
的函数
和常数
，若对任意正实数
，
使得
恒成立，则称函数
为“敛
函数”．现给出如下函数：

①
；②
；③
；④
.

其中为“敛1函数”的有 （　　　）A．①② B．③④ C． ②③④ D．①②③

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

11．已知随机变量
，若
，则
等于

12.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

13．设
，
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为6，则
______.

14．．已知函数
，若二次函数
满足：①
与
的图象在点
处有公共切线；②
是
上的单调函数.则
= 　　 .

15. 已知
，过点
作一直线与双曲线
相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角
或
；类比此思想，已知
，过点
作一直线函数
的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分13分）

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．

（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（Ⅱ）记
为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量
的分布列和数学期望．

17.（本小题满分13分）

已知函数
（
）的周期为4。

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）将
的图象沿
轴向右平移
个单位得到函数
的图象，

、
分别为函数
图象的最高点和最低点（如图），求
的大小。

18．(本题满分13分）

如图,
是边长为
的正方形，
平面
，
，
，
与平面
所成角为
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值；

(Ⅲ)设点
是线段
上一个动点，试确定点
的位置，使得
平面
，并证明你的结论.

19．（本小题满分13分）

如图，在圆
上任取一点
，过点
作
轴的垂线段
，
为垂足．设
为线段
的中点．

（Ⅰ）当点
在圆
上运动时，求点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）若圆
在点
处的切线与
轴交于点
，试判断直线
与轨迹
的位置关系．

20．(本小题满分14分)设函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）已知
，若函数
的图象总在直线
的下方，求
的取值范围；

（Ⅲ）记
为函数
的导函数．若
，试问：在区间
上是否存在
（

）个正数
…
，使得
成立？请证明你的结论.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵A=
有一个属于特征值1的特征向量
.

(Ⅰ) 求矩阵A；

(Ⅱ) 若矩阵B=
，求直线
先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．

已知曲线
的极坐标方程是
，直线的参数方程是
（为参数）．

（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与
轴的交点是
,
是曲线
上一动点,求
的最大值.

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

设实数
满足
．

（Ⅰ）若
，求a的取值范围；（Ⅱ）若
，且
，求
的最大值．

2015届高三漳州八校第二次联考数学理科试卷参考答案

选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

DDABA BBACC

二、填空题: （本大题共5小题，每小题4分，共20分）

0．3
　　2　　
　　
或

三、解答题：

16. （Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件
，则
，

故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为
． ………………4分

（Ⅱ）解：随机变量
的所有取值为
． ………………5分

，
，
，
，
． ………………10分

所以，随机变量
的分布列为:



























 ………11分

． ………………13分

17.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分．

解：（1）

--------------------------1分

-------------------------------------3分

-------------------------------------5分

-------------------------------------6分

（2）将
的图像沿
轴向右平移
个单位得到函数
---------------------------7分

因为
、
分别为该图像的最高点和最低点，所以
- -------------------9分

所以
----------------------------------------------------------------------------10分

--------------------------------------------------12分

所以
---------------------------------------------------------------------------------------13分

18.(Ⅰ)证明： 因为
平面
， 所以
. ……………2分

因为
是正方形，所以
，又
相交

从而
平面
. …………………4分

(Ⅱ)解：因为
两两垂直，所以建立空间直角坐标系
如图所示.因为
与平面
所成角为
，即
， 5分

所以
.由
可知
，
. …6分

则
，
，
，
，
，

所以
，
， ………7分

设平面
的法向量为

，则
，即
，令
，则

. ………8分

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
. ……9分

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
. ………10分

(Ⅲ)解：点
是线段
上一个动点，设
. 则
，

因为
平面
，所以

,……11分

即
，解得
. ………12分

此时，点
坐标为
，
，符合题意. …………13分

19．解：（Ⅰ）设
，则
．
点
在圆
上，
，

即点
的轨迹
的方程为
．…………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：（i） 当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
或
．显然与轨迹
相切；

（ii）当直线
的斜率存在时，设
的方程为
，

因为直线
与圆
相切，所以
，即
．………………7分

又直线
的斜率等于
，点
的坐标为
．

所以直线
的方程为
，即
． …………………………9分

由
得
．

．故直线
与轨迹
相切．

综上（i）（ii）知，直线
与轨迹
相切． ……………………………………………13分

解法二 ：设
（
），则
．……………………………………5分

（i）当
时，直线
的方程为
或
，此时，直线
与轨迹
相切；

（ii）当
时，直线
的方程为
，即
．

令
，则
．
，又点
，

所以直线
的方程为
，即
．………………9分

由
得
即
．

．所以，直线
与轨迹
相切．

综上（i）（ii）知，直线
与轨迹
相切．……………………………………………13分

20．本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分12分．

解：（Ⅰ）当
时，
，
，
，

所以切线的斜率为
.…………………………………………2分

又
，所以切点为
.

故所求的切线方程为：
即