第I卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.将函数
的图像向左平移
个单位，若所得图像对应的函数

为偶函数，则的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

5. 已知
，则
的值是（ ）

A.
B.
C. D.

6.数列
的前项和记为
，
，则数列
的通项公式

是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知
表示直线,
表示平面.若
,则
的一个充分条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 已知过椭圆
的焦点
的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知实数
满足约束条件
，目标函数
，则当
时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知圆
和圆
只有一条公切线，若
，则
的最小值为（ ）

A. B. C.
D.

11.已知P是椭圆
上第一象限内的点，
为原点，则四边形
面积的最大值为（ ）

A. B.
C.
D.

12.已知函数
,则关于的方程
有
个不同实数

解的充要条件是( )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13．已知函数
在区间
上是减函数，则实数的取值范围是 _______ _____．

14．过抛物线
的焦点作一条直线交抛物线于
两点，若线段
的中点
的横坐标为，则
等于 .

15．设
为单位向量，①若
为平面内的某个向量，则
＝|
|·
；②若
与
平行，则
＝|
|·
；③若
与
平行且|
|＝1，则
＝
.上述命题中，假命题个数是________．

16．已知函数
，则函数
的零点个数为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本大题12分）

已知数列
与
，若
且对任意正整数满足
数列
的前项和
．

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前项和

18．（本大题12分）

在长方体
中，
，过
、
、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体
，且这个几何体的体积为
．

（I）求棱
的长；

（II）若
的中点为
，求异面直线
与
所成角的余弦值.

19．（本大题12分）

某小组共有、、
、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指

标（单位：千克/米2）如下表所示：













身高













体重指标













（I）从该小组身高低于
的同学中任选人，求选到的人身高都在
以下的概率；

（II）从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在
以上且体重指标都在
中的概率．

20．（本大题12分）

已知椭圆：
，离心率为
，焦点
过
的直线交椭圆于
两点，且△
的周长为4.

(I) 求椭圆方程;

(II) 与y轴不重合的直线
与y轴交于点P(0,m)(m0),与椭圆C交于相异两点A,B且
.若
,求m的取值范围。

21．（本大题12分）

已知函数
，曲线
经过点
，

且在点处的切线为
.

（I）求、
的值；

（II）若存在实数
，使得
时，
恒成立，求
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）

如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.

（I）求证：DC是⊙O的切线；

（II）求证：AM·MB=DF·DA.

23. （本小题满分10分）选修4-4参数方程和极坐标

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线
的参数方程为
（为参数），曲线
的极坐标方程为
.

（I）求
的直角坐标方程；

（II）设直线
与曲线
交于
两点，求弦长
.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（I）若
，解不等式
；

（II）如果
，求的取值范围．

数学（文科）答案

选择题

由图可以看出，函数

的零点有
个.

考点：分段函数，函数的零点，函数的图象.

三、解答题

17．1．（1）
，
；（2）

【解析】

试题分析：（1）给出
与
的关系，求
，常用思路：一是利用
转化为
的递推关系，再求其通项公式；二是转化为
的递推关系，先求出
与的关系，再求
；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减．

试题解析：解：（1）由题意知数列
是公差为2的等差数列 又因为
所以

当
时，
；

当
时，

对
不成立

所以，数列
的通项公式:

（2）
时，

时，

所以

仍然适合上式

综上，

考点：1、求数列的通项公式；2、裂项法求数列的和．

18．（1）3（2）

【解析】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。

（1）因为）设
，由题设
，可知棱长。

（2）因为在长方体中
//
，

所以
即为异面直线
与
所成的角（或其补角）

那么借助于三角形求解得到结论。

解：（1）设
，由题设
，

得
，即
，解得
．

故
的长为． ……………………………6分

（2）因为在长方体中
//
，

所以
即为异面直线
与
所成的角（或其补角）．…………………………8分

在△
中，计算可得
，则
的余弦值为
。……………12分

19．3．（1）选到的人身高都在
以下的概率为
；

（2）选到的人的身高都在
以上且体重指标都在
中的概率为
.

20．(Ⅰ)
;(Ⅱ)

【解析】

试题分析：（1）设C：
（A＞b＞0），由条件知A-C=
,
由此能导出C的方程．(Ⅱ)由题意可知λ=3或O点与P点重合．当O点与P点重合时，m=0．当λ=3时，直线l与y轴相交，设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
得
再由根的判别式和韦达定理进行求解．

试题解析：（1）设C：
（＞b＞0），设C＞0，
，由条件知4=4，
，∴a=1，b=C=
,故C的方程为：
; 4分

(Ⅱ)设
：y=kx+m与椭圆C的交点为A(
，
)，B(
，
)。将y=kx+m代入

得
,所以
①,

...............................6分

因为
，
，所以
,

所以
, ........................... 8分

消去
得
,所以
,....9分

即
,当
时,
...10分

所以
,
由①得
,解得
12分

考点： 1、直线与圆锥曲线的综合问题；2、向量在几何中的应用．

21．（1）
，
；（2）
.

【解析】

试题分析：（1）利用条件“曲线
经过点
，且在点处的切线为
”得到

以及
，从而列出方程组求解、
的值；（2）利用参数分离法将问题等价转化为

在区间
上恒成立，并构造新函数
，转化为
，

利用导数求出函数
在区间
的最大值，从而可以求出实数
的取值范围.

（1）
，

依题意，
，即
，解得
；

（2）由
，得：
，

时，

即
恒成立，当且仅当
，

设
，
，
，

【解析】本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.

试题解析：（Ⅰ）由
，得
，即曲线
的直角坐标方程为
． 5分

（Ⅱ）将直线l的方程代入
，并整理得，
，
，
．所以
． 10分

考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.

24．解：（Ⅰ）当
时，

由
得

当
时，不等式可化为
，其解集为

当
时，不等式化为
，不可能成立，其解集为
；

当
时，不等式化为
，其解集为