2015届安庆一中、安师大附中统一考试试卷

数学（理）试卷

一、选择题( 每小题5分，计50分)

1、若
，则
=（ ）

A、
B、
C、
D、

2、复数
满足
，则
等于（ ）

A、
B、
C、
D、

3、已知向量
与
的夹角为
，
，则
在
方向上的投影为（ ）

A、

B、
C、
D、

4、
=（ ）

A、
B、
C、
D、

5、已知

满足约束条件
，若
取得最大值的最优解不唯一，则实数
的值为（ ）

A、
或
B、2或
C、2或1 D、2或

6、为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）

A、向右平移
个单位 B、向右平移
个单位

C、向左平移
个单位 D、向左平移
个单位

7、数列
是正项等比数列，
是等差数列，且
，则有（ ）

A、
B、

C、
D、
大小不确定

8、已知
，若
的必要条件是
，则
之间的关系是（ ）

A、
B、
C、
D、

9、已知球O是棱长为1的正方体
的内切球，则平面
截球O的截面面积为（ ）

A、
B、
C、
D、

10、现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为（ ）

A、232种 B、252种 C、472种 D、484种

二、填空题：( 每小题5分，计25分)

11、命题“存在
，使
”的否定是

12、已知函数
若函数
有3个零点，则实数
的取值范围是 。

13、设
为正整数，
，计算得
，
，

，观察上述结果，可推测一般的结论为 。

14、双曲线C的左右焦点分别为
、
，且
恰为抛物线
的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若
是以
为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为

15、若函数
存在与直线
平行的切线，则实数
的取值范围

是 。

三、解答题

16、（12分）在锐角
中，

（1）求角
； （2）若
，求
的取值范围。

17、（12分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数
（万人）与时间
（天）的函数关系近似满足
，日人均消费
（元）与时间
（天）的函数关系近似满足
。

（1）求该城市的旅游日收益
（万元）与时间
的函数关系式；

（2）求该城市旅游日收益的最小值（万元）

18、（13分）如图，棱锥
的底面ABCD是矩形，
平面ABCD，
。

求证：

（1）
平面

（2）求二面角
的余弦值

（3）在线段
上是否
存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为
，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。

19、（13分）如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的焦距为2，且过点
。

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若点A、B分别是椭圆E的左、右顶点，直线
经过点B且垂直于
轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交
于点M。

（1）设直线
的斜率为

，直线
的斜率为
，证明
的定值；

（2）设过点M垂直于PB的直线为
，证明：直线
过定点，并求出定点的坐标。

20
、（13分）已知函数

（1）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；

（2）当
且
时，不等式
在
上恒成立，求
的最大值。

21、（13分）已知数列
的前
项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
满足：
且
，求证：
；

（3）求证：

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数学（理）参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

C

C

D

D

B

A

D

C



9、D 截面为等边三角形，边长
，

10、C
11、对任意
，使

12、
13、

14、
（提示设
求出））

15、
，设切点

但当
时切线与
重合

即
且

16、（1）由

且

（2）

又

17、（1）

（2）

当
时

等号
即
时取到。

时
在[15，30]上单减，

时，
取最小值为
。

综上：最小值为
（万元）。

18、（1）由勾股定理得
，余略

（2）以AB、AD、AP为
建系

易求面
的法向量

面PBD的法向量

故所求值为

（3）
在DP上，可设

面PBD的法向量
，记所求角为
，

即

19、（1）

（2）（i）得

由
，

（定值）

(ii)

由(i)知

直线

过定点
。

20、（1）

（2）

即
对任意
恒成立。

令
则

令

则
在
上单增。

存在
使

即当
时
即

时
即

在
上单减，在
上单增。

令
即

且

即

21、（1）

①

②

①-②得

①中令

综上

（2）
当
时，
，不等式成立；

假设
时，不等式

那么当
时

（由归设）

命题真；

综合
、
知当
时，

（3）设

在
上单减

即

又
时 由（2）知

即原不等式获证。

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