宁大附中2015届高三上学期期末考试

数学（理）试题

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分
,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)

1、设集合
,集合
为函数
的定义域，则
（ ）

A.

B.
C.
D.

2、将函数
的图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）

A．
B．

C．
D．

3、在各项都为正数的等比数列
中，首项为
，前
项和为
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

5、已知向量
，若
，则
的最小值为（ ）

A．
B．12 C．6 D．

6、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )

A．
B．
C．
D．

7、设双曲线的一个焦点为
，虚轴的一个端点为
,如果直线
与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

A．
B．

C．
D．

8、在
中，角A，B，C所对边分别为
，且
，面积
，则
等于( )

A.
B.5 C.
D.25

9、已知命题p：函数
在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数
在
上是减函数，若p且
为真命题，则实数a的取值范围是（ ）

A．
B．a≤2 C． 12

10、已知
，若
恒成立，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．


D．

11、已知椭圆
与抛物线
有相同的焦点
，
为原点，点
是抛物线准线上一动点，点
在抛物线上，且
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知函数
定义在R上的奇函数，当
时，
，给出下列命题：

①当
时，
②函数
有2个零点

③
的解集为
④
，都有

其中正确命题个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分
．共20分
)

13、若
，则
＝ ．

14、已知幂函数
的图像过点
，令
，
，记数列
的前
项和为
，则
=10时，
的值是( )

A. 110 B. 120 C. 130 D. 140

15、直线l过椭圆
的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O 为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为　 　．

16、在三棱锥
中，底面
为边长为
的正三角形，顶点

在底面
上的射

影为
的中心， 若
为
的中点，且直线
与底面
所成角的正切值为

，则三棱锥
外接球的表面积为__________．

三、解答题:（共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）

17、（本题满分 10分）某高校在今年的自主招生考试成绩中
随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5组制出频率分布直方图如图所示．

（1）求a， b , c , d ;

（2）该校决定在成绩较好的 3 , 4 , 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学
生？

18、（本小题满分12分）在
中，内角
所对边分别为
，且
．

（1）求角
的大小；

（2）如果
，求
面积的最大值．

19、（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列
的前四项和
，且
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
为数列
的前
项和，若
对
恒成立，求实数
的最大值．

20、（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，
，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求二面角
的大小.

21、（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，左右焦点分别为F1，F2，抛物线
的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知圆M：
的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过坐标原点，如果是，请写出求解过程。

22、（本小题满分12分）设函数
．

(Ⅰ)当
时，求曲线
在
处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数
的单调性；

(Ⅲ)当
时，设函数
，若对于
，
，使
成立，求实数
的取值范围.

高三数学（理）答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

B

B

C

C

D

B

C

C

A

B



填空题：

13．
14． 120 15．
16．
；

三、解答题：

17． (本小题满分10分)

18、（本小题满分12分）

（1）
，由正弦定理得
， ………………………3分

.
…………………………5分

（2）
，
……………………………6分

又
，所以
，当且仅当
取等号.………………………8分

，

为正三角形时，
. ……………………………10分

20题解：

又因为
平面
，所以
. 因为
，所以
平面
.

（2）解：由（Ⅱ），得
，
.设平面
的法向量为
，

所以
即
令
，得
. 由
平面
，得平面
的法向量为
，

则
. 由图可知二面角
为锐角，所以二面角
的大小为
.

21、解答：

22. 解： 函数
的定义域为
，

(Ⅰ)当
时，
，

∴
在
处的切线方程为

(Ⅱ)
，
的定义域为

当
时，
，
的增区间为
，减区间为

当
时，

，
的增区间为
，减区间为
，

，
在
上单调递减

，

时，

(Ⅲ)当
时，由(Ⅱ)知函数
在区间
上为增函数，

所以函数
在
上的最小值为

若对于
使
成立

在
上的最小值不大于

在[1，2]上的最小值
（*）

又

①当
时，
在上
为增函数，
与（*）矛盾

②当
时，
，由
及
得，

③当
时，
在上
为减函数，
， 此时

综上所述，
的取值范围是
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