天津一中2014-2015-1高三年级二月考数学试卷（理科）

一、选择题：

1．已知是实数，
是纯虚数，则等于

A.；B.
；C.
；D.

2．已知
的展开式中
的系数为,则

A．
B．
C．
D．

3．若实数
满足
且
的最小值为
，则实数
的值为

A.；B．
；C.
；D.

4．执行如图所示的程序框图，输出的值是

A．3 B．—6

C．10 D．—15

5．如图所示,圆的直径
，为圆周上一点，
,过点作圆的切线，过点作的垂线
，垂足为,则∠

A.
B.
C.
D.

6．已知
，
，则使
成立的一个充分不必要条件是

A．
B．
C．
D．

7．已知实数
，
的等差中项为
，设
，则
的最小值为

A．3 B．4 C．5 D．6

8．对于函数
，若
，
为某一三角形的三边长，则称
为“可构造三角形函数”，已知函数
是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、选择题：

9．已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取
辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间
上的汽车大约有 辆.80

10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 18

11．在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
= ．

12．已知平面上的三个向量
，满足
，

则
的最大值是 3

13．在
中，角
的对边分别为
，且
，若
的面积为
，则
的最小值为 12

14．设函数
若
，则函数
的零点个数有 个.4

三、解答题：

15．已知函数
，其中
，
.

（Ⅰ）求函数
的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设
的内角
的对边分别是
，且
，
，

若
，求
的面积。

解：（I）
……………2分

=
……………………4分

的最大值为0；最小正周期为.………………………………………………………6分

（Ⅱ）
，又
，解得
…………………8分

又
，由正弦定理
---------------①，…………9分

由余弦定理
，即
-------------②…………10分

由①②解得：
，
.…………………………………………………12分

16．盒中装有
个零件，其中个是使用过的，另外
个未经使用.

（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求
次抽取中恰有次

抽到使用过的零件的概率；

（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为
，求
的分布列和数学期望.

（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，

则
. ………………2分

所以
次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率
. ……5分

（Ⅱ）解：随机变量
的所有取值为
. ………………7分

　　　
；
；

. ………………10分

所以，随机变量
的分布列为:



















………………11分

. ………………13分

16．已知数列
中，
，前项的和是
满足：
都有：

其中数列
是公差为1的等差数列；

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求
.

都有：
，令
得：

从而
，又因为数列
是公差为1，所以，

得：
，当
时，
，

检验：
时，
不满足题设；故通项公式是：

（Ⅱ）当
时,
，当
时,
，所以

，
符合，故
.

18．在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
∥
，
，

，平面
平面
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求平面
和平面
所成二面角（小于
）的大小；

（Ⅲ）在棱
上是否存在点
使得
∥平面
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明：因为
，

所以
. ………………………………………1分

因为 平面
平面
，平面
平面
，

平面
，

所以
平面
. ………………………………………3分

（Ⅱ）解：取
的中点
，连接
.

因为
，

所以
.

因为 平面
平面
，平面
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………………………………4分

如图，以
为原点，
所在的直线为轴，在平面
内过
垂直于
的直

线为轴，
所在的直线为轴建立空间直角坐标系
．不妨设
.由

直角梯形
中
可得
，
，

.

所以
，
.

设平面
的法向量
.

因为

所以

即

令
，则
.

所以
. ………………………………………7分

取平面
的一个法向量n
.

所以
.

所以 平面
和平面
所成的二面角（小于
）的大小为
.

………………………………………9分

（Ⅲ）解：在棱
上存在点
使得
∥平面
，此时
. 理由如

下： ………………………………………10分

取
的中点
，连接
，
，
.

则
∥
，
.

因为
，

所以
.

因为
∥
，

所以 四边形
是平行四边形.

所以
∥
.

因为
，

所以 平面
∥平面
. ………………………………………13分

因为
平面
，

所以
∥平面
. ………………………………………14分

19．（本小题满分14分）已知函数

（1）当
时，比较
与1的大小；

（2）当
时，如果函数
仅有一个零点，求实数
的取值范围；

（3）求证：对于一切正整数，都有

解：（1）当
时，
，其定义域为
…………………1分

因为
，所以
在
上是增函数…………3分

故当
时，
；当
时，
；

当
时，
…………………4分

（2）当
时，
，其定义域为

，令
得
，
…………6分

因为当
或
时，
；当
时，

所以函数
在
上递增，在
上递减，在
上递增

且
的极大值为
，极小值为
…………………7分

又当
时，
；当
时，

因为函数
仅有一个零点，所以函数
的图象与直线
仅

有一个交点。所以
或
…………………9分

（3）方法一：根据（1）的结论知当
时，

即当
时，
，即
…………………1