宁大附中2015届高三上学期期末考试

数学（文）试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为

A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0

2、直线3x＋4y－9＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是

A．相离 B．相切

C．直线与圆相交且过圆心 D．直线与圆相交但不过圆心

3、若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

A
. B. C. D.

4、矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A、B为焦点，且过C、
D两点的椭圆的短轴的长为

A．2 B．2 C．4 D．4

5、一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，

则侧视图的面积为

A.8

B.

C.4

D.24

6、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积是

A.

B.

C.

D.8

7、经过点M(3，－1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是

A．y2－x2＝8 B．x2－y2＝±8 C．x2－y2＝4 D．x2－y2＝8

8、已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（-1，8），P是
抛物线上一点，则︱PA︱+︱PF︱的最小值是

A．16 B．12 C．9 D．6

9、三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都是a，顶点都在一个球面是，该球的表面积为

A．πa2 B．
πa2 C．
πa2 D． 5πa2。

10、一
水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的
正方形，如图3.则原平面图形的面积为

A．2 B．3

C．8 D．

11. 已知直线
，
和平面
，有以下四个命题：

①若
，
，则
；②若
，
，则
与
异面；

③若
，
，则
；④
若
，
，则
．

其中真命题的个数是

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

12.下列条件中,能判断两个平面平行的是

A．一个平面内的一条直线平行于另一个
平面;

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

二.填空（每小题5分，共20分）

13、＋＝1表示双曲线，则实数t的取值范围是____________

14、F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，求△F1MF2的面积为___________________．

15、
抛物线x=ay2的准线方程是x=2，则a=

16、已知直线
，
和平面
，且
，
，则
与
的位置关系是__________

三．解答题：

17、（12分）根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；

(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.

18、（12分） 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

19、（12分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线

上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（1）写出该抛物线
的方程和焦点F的坐标；

（2）求线段BC中点M的坐标；

20、（10分）一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,

求这个几何体的体积

21. （12分）如图，棱柱
的侧面
是菱形，
.证明：平面

平面
.

22、（12分）已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分

别是△PAB、△PCB、△PAC的重心；D、E、F分别是AB、

BC、CA的中点。

（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；

（2）求S△
∶S△ABC.=？

(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．

依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，

所以2c＝|F1F2|＝2|
OP|＝12，所以c＝6. 又P与两顶点连线夹角为，

所以a＝|OP|·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24. 故所求的双曲线方程为－＝1

18．[解答] (1)将(0,4)代入椭圆C的方程得＝1，∴b＝
4.

又e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.

解得x1＝，x2＝，∴AB的中点坐标＝＝，

＝＝(x1＋x2－6)＝－.即中点为.

又已知

∴
平面

又∵
平面
∴平面

22.（1）证明 如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，

连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD=2∶3， PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥
DE.

又G1G2不在平面ABC内，∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.

又因为G1G2∩G2G3=G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.

（2）解 由（1）知
=
，∴G1G2=
DE. 又DE=
AC，∴G1G2=
AC.

同理G2G3=
AB，G1G3=
BC. ∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，

∴S△
∶S△ABC.= 1:9