天津一中2014—2015学年高三数学（文科）二月考考试试卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上

9．若某几何体的三视图(单位:
)如下图所示,此几何体的体积是____________

10．设函数
集合

则
为__________________

11．执行下图所示的程序框图,则输出的
的值是_____________

12．若
的最小值是______________

13．已知菱形
的边长为，
，点，分别在边
、
上，
，
.若
，则
的值为_____________

14．若对任意
，不等式
恒成立，则实数的范围是 ____

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

15．（本小题满分13分）

家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A类服务员12名,B类服务员名

(Ⅰ)若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B类服务员的人数是16, 求的值

(Ⅱ)某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择

①请列出该客户的所有可能选择的情况

②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率

16．（本小题满分13分）

已知函数

（I）求
的最小正周期

（II）在
中，
分别是A、B、C的对边，若
，
，
的面积为
，求的值

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点

（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC

（Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求
的值

18．（本小题满分13分）

已知数列
中
,数列
中
，其中

(I)求证:数列
是等差数列

(Ⅱ)设
是数列
的前n项和,求

(Ⅲ)设
是数列
的前n 项和,求证:

19．（本小题满分14分）

设函数
,

(Ⅰ)讨论函数
的单调性

(Ⅱ)如果存在
,使得
成立,求满足上述条件的最大整数

(Ⅲ)如果对任意的
,都有
成立,求实数的取值范围

20．（本小题满分14分）

已知数集
，其中
，且
，

若对
（
），
与
两数中至少有一个属于，则称数集具有性质

（Ⅰ）分别判断数集
与数集
是否具有性质，说明理由

（Ⅱ）已知数集
具有性质，判断数列
是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由

数学（文科）二月考答案

一、选择题

1．是虚数单位,复数
的实部为 ( )

A. B．
C． D．

【答案】C

2. 函数
的零点所在的一个区间是 ( )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

3．下列有关命题的叙述，错误的个数为 ( )

①若pq为真命题，则pq为真命题。

②“
”是“
”的充分不必要条件。

③命题P： x∈Ｒ，使得x
＋x-1<0，则p : x∈Ｒ，使得x
＋x-1≥0。

④命题“若
，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则
”。

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

4．设、是两条不同的直线，、
是两个不同的平面，则（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则

【答案】C

5．定义行列式运算
=
.将函数
的图象向左平移
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

6．设
,
,
,则
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

7．已知等差数列
的公差
,且
成等比数列,若
是数列
的前项的和,则
的最小值为 （ ）

A．4 B．3 C．
D．

【答案】A

8．定义一种运算
,令
(为常数),且
,则使函数
最大值为4的值是（ ）

A．
或 B．或 C．
或 D．
或

【答案】C

二、填空题

9．若某几何的三视图(单位:
)如下图所示,此几何体的体积是_____________

【答案】 48

10．设函数
集合

则
为__________________

【答案】

11．执行右图所示的程序框图,则输出的的值是_____________

【答案】4

12．若
的最小值是______________

【答案】

13．已知菱形
的边长为，
，点，分别在边
、
上，
，
.若
，则的值为_____________

【答案】2

14．若对任意
，不等式
恒成立，则实数的范围是

【答案】

三、解答题

15． 家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A类服务员12名,B类服务员名

(Ⅰ)若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B类服务员的人数是16, 求的值

(Ⅱ)某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择

①请列出该客户的所有可能选择的情况

②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率

【答案】 解： (1)20-16=4, 由
,可得=48

(2) ①设3名A类家政服务员的编号为a,b,c,2名B类家政服务员的编号为1,2,

则所有可能情况有:

(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)共10种选择.

②该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况有:

(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)共6种选择,

该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率为

16．已知函数

（I）求
的最小正周期

（II）在
中，
分别是A、B、C的对边，若
，
，
的面积为
，求的值

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点

（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC

（Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求
的值

18．已知数列
中
,数列
中
，其中

(I)求证:数列
是等差数列

(Ⅱ)设
是数列
的前n项和,求

(Ⅲ)设
是数列
的前n 项和,求证:

【答案】解:(Ⅰ)
, 而
,

∴
.

∴ {
}是首项为
,公差为1的等差数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
,

,

于是
=

故有

=6

(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知

,

则

则
++

,

∴

19．设函数
,

(Ⅰ)讨论函数
的单调性

(Ⅱ)如果存在
,使得
成立,求满足上述条件的最大整数

(Ⅲ)如果对任意的
,都有
成立,求实数的取值范围

【答案】(Ⅰ)
,
,

①
,函数
在
上单调递增

②
,
,函数
的单调递增区间为

,函数
的单调递减区间为

(Ⅱ)存在
,使得
成立

等价于:
,

考察
,
,































递减

极(最)小值

递增







由上表可知:
,

,

所以满足条件的最大整数
;

(Ⅲ)当
时,
恒成立

等价于
恒成立,

记
,所以

,
.

记
,
,

即函数
在区间
上递增,

记
,
,

即函数
在区间
上递减,

取到极大值也是最大值

所以

另解
,
,

由于
,
,

所以
在
上递减,

当
时,
,
时,
,

即函数
在区间
上递增,

在区间
上递减,

所以
,所以

20．已知数集
，其中
，且
，若对
（
），
与
两数中至少有一个属于，则称数集具有性质

（Ⅰ）分别判断数集
与数集
是否具有性质，说明理由

（Ⅱ）已知数集
具有性质，判断数列
是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由

所以该数集具有性质． 4分